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Paseando por puentes

No soy especialista en la diversidad de la matemáticas, pero creo que la topología debe ser una de las ramas que más tarde surgió. Probablemente el problema que, sin querer, dio origen a la topología y a una de las teorías de ésta (la Teoría de grafos) es el Problema de los puentes de Königsberg. Los habitantes de Königsberg se preguntaban si podrían cruzar los 7 puentes que tenía la ciudad y que aparecen en la figura siguiente sin pasar dos veces por el mismo puente.





Uno se pone a hacer intentos y no sale, no sale. ¿Pero quién sabe? Igual es que no se ha dado con la tecla y es cuestión de insistir. Pues no, Euler, en 1736, demostró que no se podía (con “demostró” no quiero decir que agotara todas las posibilidades, lo demostró teóricamente). El problema de los puentes se reduce al siguiente dibujo, siendo las líneas cada uno de los puentes y los puntos los trozos de tierra (no importa lo grandes o pequeños que sean cada uno, el objetivo es no pasar dos veces por el mismo puente, es decir, no recorrer dos veces la misma línea).





Hay que notar que no importa el tamaño de los pedazos de tierra, ahí podemos pasearnos lo que queramos, por eso se representan con un punto.

Esto nos recuerda a ese dibujito que supongo que todos hemos hecho alguna vez, de una casita con una cruz en la mitad o una especie de sobre abierto. El objetivo es recorrer todo el dibujo con un lápiz sin levantarlo del papel y sin pasar dos veces por el mismo sitio. Y si nos ponemos, al final sale. ¿Pero qué ocurre si le quitamos el tejado, es decir, si sólo tenemos un cuadrado con sus dos diagonales? ¿Se puede? Pues parece que no.









Lo que Euler demuestra es lo siguiente: Contemos los puntos que hay en los que haya intersección de líneas. En el caso de la casa con y sin tejado, son 5, las 4 esquinas del cuadrado y el punto de intersección de las diagonales (en el que tiene tejado, podemos contar también la punta del tejado, no importa, esos puntos serán irrelevantes). Ahora miramos la cantidad de líneas que llegan a cada punto. El teorema es que se puede recorrer el dibujo si y sólo si sólo hay 0 o 2 puntos en el que confluyen un número impar de líneas. Hala. En el caso de la casa con tejado, tenemos que todos los puntos tienen un número par de confluencias menos las dos esquinas de abajo, que tienen 3 líneas. Como son 2 puntos, se puede recorrer. En el caso de no tener tejado, las 4 esquinas tienen 3 rectas que llegan a ella. Como son 4 (y no 0 o 2), pues no se puede.

Maravilloso, ¿no? Ahora basta con dibujar un grafo de estos, inventado, y decirle a un amigo que intente recorrerlo. Nosotros, a priori, ya sabremos si se puede o no.

|2004-12-16 | 01:00 | | 23 opinan | Este post | |

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Comentarios

1
De: Lola Fecha: 2004-12-16 10:06

Alguien que sepa html... que me diga cómo poner una figurita al lado de la otra y no una debajo de otra... ejem...



2
De: Cluje Fecha: 2004-12-16 10:34

Me imagino a Kant perdido en sus reflexiones, realizando todos los posibles recorridos por los siete puentes, y de este modo demostrando sin saberlo el primer problema de la Topo.

Por otra parte, si alguien busca Koenigsberg en el mapa y no la encuentra, su nombre actual es Kaliningrado.



3
De: Anónima Fecha: 2004-12-16 11:03

Según la wikipedia, Köningberg es también la ciudad natal de ¡Goldbach!.

Y entiendo lo que dice Euler, pero prefiero ni imaginarme como debe ser la demostración :o



4
De: Tiza Fecha: 2004-12-16 11:13

Alguien que sabe html te dice que tienes que insertar una tablita...no se como es tu editor en el blog. Me ha encantado tu post de hoy lola...muy bueno.



5
De: Nfer Fecha: 2004-12-16 11:28

Muy bueno, Tiza, es cierto.
Es más hasta me animaré a tomar lápiz y papel a ver qué me sale. Eso luego que entre BM, que algo dirás, ¡¡¡anda di algo BM!!!
En el de ayer dejé una pequeña aclaración (¿o confusión?) sobre la escatológica derivación del tema...no teman por mí, Argentina es el paraíso de los psicólogos :-))



6
De: BioMaxi Fecha: 2004-12-16 11:36

O sin poner tablas, estas líneas deberían servir:

Texto por arriba

< img src="http://descartes.cnice.mecd.es/taller_de_matematicas/rompecabezas/casita.gif" align="middle" border="0" >< img src="http://descartes.cnice.mecd.es/taller_de_matematicas/rompecabezas/sobre.gif" align="middle" border="0" >

Texto por abajo

(El espacio delante o detrás de cada tienes que quitarlo)



< td >
< img src="http://descartes.cnice.mecd.es/taller_de_matematicas/rompecabezas/casita.gif" >< /td >< td >< img src="http://descartes.cnice.mecd.es/taller_de_matematicas/rompecabezas/sobre.gif" >< /td >< /tr >< /table >

Lo mismo que antes, quitando los espacios que sobran.

7
De: BioMaxi Fecha: 2004-12-16 11:42

Aunque la verdad es que las tablas son muy cómodas:

< table >



8
De: BioMaxi Fecha: 2004-12-16 11:44

anda que gracia, se sale del comentario. Se me habrá olvidado poner algún espacio....

Empieza < table >< tr > y sigue con lo que hay fuera del cuerpo del comentario...

Cuando lo tengas, borra mis comentarios, que queda fatal :)



9
De: Lola Fecha: 2004-12-16 11:47

joe... vengo de la (pesadísima) charla que me he tragado... y me encuentro hasta comentarios fuera de los cuadrados de los comentarios... Es que a mi se me saca del LaTeX y...

Voy a intentarlo :)



10
De: Lola Fecha: 2004-12-16 11:50

Pueeeees.... no me va... bueno, da igual, ya aprenderé...



11
De: BioMaxi Fecha: 2004-12-16 11:54

Pues voy a coger el mapa de Leiden (el antiguo, que queda más bonito) y a hacerle el grafo, hale. A vosotros no os podré plantear el reto de cruzar toooodos los puentes porque sabeis el truco, pero me da que estas Navidades se lo voy a poner difícil a la family...
... aunque conociéndoles, pasarán del tema XD



12
De: Alberto Fecha: 2004-12-16 12:01

A Konigsberg la llamo la ciudad ubicua, porque aparece cuando menos te lo esperas. No sólo los puentes o Kant. Fundada por los caballeros teutónicos (significa montaña del rey), puerto hanseático, capital de la Prusia Oriental, enclave Alemán rodeado por Polonia tras la primera guerra mundial, causa inmediata de la segunda, actualmente encalve ruso entre Lituania y Polonia con el nombre de Kaliningrado... Y también en el nombre de:

Heywood(y) Allen Stewart Konigsberg



13
De: BioMaxi Fecha: 2004-12-16 12:17

Lola y demás interesados:

he colgado en mi blog un mapa del viejo Leiden, por si os animais a encontrar la solución equivalente...
http://evolucionarios.blogalia.com/historias/24394

He pensado que, aunque sepais el truco, os va a tener entretenidos un buen rato, contando puntos y lineas ;-)



14
De: Zifra Fecha: 2004-12-16 13:13

Esto es lo mío: Teoría de Grafos...y lo difícil del Teorema de Euler es el "si". El "solo si" es bastante fácil de probar.

Es decir, lo difícil es probar que para TODOS los grafos con 0 ó 2 vértices de grado impar existe un recorrido/circuito euleriano.



15
De: Lola Fecha: 2004-12-16 14:17

Pues si... cierto. De hecho, es un teorema con mucha lógica... como que uno va diciendo al leer la demostración "pues... claro"...



16
De: Nfer Fecha: 2004-12-16 16:03

y si y solo si, os lo dejo toito pa ustedes.
Zifra, adelante con los faroles, y ¡¡¡gracias por hacerme doblar de risa con ese link de la masturbación!!!!!.



17
De: Carlos Fecha: 2004-12-16 19:51

Anónima , el teorema es bastante sencillo, cualquiera con muy poco conocimiento de base y unas cuantas definiciones básicas de teoría de grafos podría entenderlo.



18
De: Nfer Fecha: 2004-12-16 20:57

Averr: el teorema es sencillo. O sea que lo primero que tengo que entender es el teorema...luego los puentes, sean de Konigsberg, de Leiden o de Madison, ¿da igual?



19
De: Dem Fecha: 2004-12-16 21:01

Biomaxi acaba de poner en evidencia una técnica de Blogalia injection (aprendices de hacker busquen SQL Injection en google) ;)

(No creo que en este caso vaya a ser un problema gordo de seguridad, pero el administrador quizás debería echarle un ojo a las posibles complicaciones).



20
De: Nfer Fecha: 2004-12-16 21:53

Carlos, a lo que vi, el teorema es sencillo, ejem,... Gracias. Cero o dos, o te quedas de un lado si eres honesto...

En cuanto a lo de los puentes, temo que es como mi calle: Me contaron que un niño quería cruzar y le pregunta a una ancianita que ve en el otro lado "señora, ¿cómo hago para cruzar?" y la ancianita le dice "pues niño, no sé, yo nací de este lado..."



21
De: Miguelito Fecha: 2004-12-16 23:17

Que interesante....aunque no sé si podre retener el teorema mucho tiempo...ya sabes....mi kedadez...pero gracias por este buen rato. Buen viaje, amiga.

Un besazo



22
De: Mitch Fecha: 2004-12-17 17:22

Fijate que yo nunca habia estudiado teoria combinatoria de grafos hasta que fui a EEUU, donde resulta que dan unos cursos de doctorado que en España podrían darse perfectamente en primer ciclo de licenciatura... pero no se dan. Es el tipo de teoria que una vez has estudiado te parece todo tan fácil e inmediato, pero si no la has visto no se te ocurren los métodos a usar. Aún recuerdo cuando volví a Zaragoza teniendo que recurrir a mi libro de teoría de grafos de Florida (de un nivel patético) junto con mi director de tesis, la definición de matroide.

Por cierto, el si y solo si es una de esas cosas que te parecen triviales después de haber visto algo de teoría de grafos, aunque no recuerdes ni un sólo teorema.



23
De: Xac Fecha: 2004-12-17 21:33

Bueno, si aplicamos un poco de pensamiento lateral ... ale hop!. Ya está. Dudo que a Euler se le ocurriera plegar el papel.



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