Me ha escrito una chica haciéndome la siguiente pregunta (resumo mucho el mail):
Hay preguntas típicas que se le hacen a un profesor de matemáticas, como ¿para qué sirven las matemáticas? ¿Qué son o para qué sirven las integrales? que son más o menos fácilmente argumentables con muchos ejemplos en la vida cotidiana. El caso es ¿qué pasa por ejemplo con la siguiente pregunta?:
¿Por qué menos por menos es más?
es una pregunta que se puede hacer a una edad más o menos temprana dado a cuándo se introduce la multiplicación de números enteros, y que pienso que al ser de carácter algebraico dificilmente se da una respuesta más o menos aplicable. Si lo miras en los textos de secundaria tampoco hay algo significativo. Es mas bien un créetelo que funciona y en algún momento verás para qué sirve y dudo de si ese momento les llega o si son conscientes de ello.
Y el caso es que lleva razón. Yo le he respondido con el clásico argumento de que al fin y al cabo la multiplicación por enteros negativos es un convenio tan poco palpable como el hecho de elevar un número a cero, y no se me ocurre una prueba práctica (sin involucrar al concepto de anillo ni nada de nivel algebraico alto) que justifique un menos por menos es más. ¿A alguien se le ocurre algo?
|2007-01-02 | 17:12 | algo de mates | Este post | | Tweet
¿Te refieres a una interpretación de los conceptos de número y producto en la que se justifique la regla? Mmmm, la verdad es que se ve complicado, sobre todo porque la única interpretación que suele tener la gente de "número negativo" es la de deuda. Todo el mundo entiende que al multiplicar la deuda de 5 personas pues nos sale otra deuda (más por menos, menos) pero ¿cómo se usa esto con un número negativo de personas? ¿Quizás con hacienda, contando la devolución (saldo negativo para hacienda) de una serie de personas que han contado por error?
Algo así como "a cada persona de cierta lista teníamos que devolverle 1000 euros, así que le corresponde un saldo de -1000 en nuestras cuentas, pero por error hemos contado 5 personas que no deberíamos, que tenemos que eliminar. Al eliminar las 5 personas extra (-5 personas en nuestra lista) la diferencia de saldo es de (-5)*(-1000)=5000 euros a nuestro favor".
No sé si queda muy claro o es todavía más confuso :-/
A mí me gusta la interpretación geométrica, pero no sé si la considerarás de nivel algebraico alto. El caso es que si explicas la multiplicación como si fueran complejos (en plan módulo*argumento, se multiplican los módulos y se suman los argumentos) se vé muy claro que el producto de dos negativos (girar 180 grados dos veces) es positivo.
teniendo en cuenta que los complejos se dan en 1º de bachillerato y que no se ve la multiplicación así, sí es de alto nivel algebraico. Pero lo mismo la interpretación con el error de deudas puede ser buena...
Dios qué recuerdos este post! Snif snif
Mi profesor de mates del colegio nos dio su interpretación, nos dijo...
El signo menos es el enemigo, y el más es amigo. El enemigo de tu enemigo es tu amigo (- por - = +). Mientras que el enemigo de tu amigo es tu enemigo (- por += -)... El pobre se lió tanto que acabó cantando a lo década prodigiosa , pero estoy convencida que él creía en eso...
Cuando hubiera sido más fácil y seguro que me hubiera convencido más (por aquella época) que la doble negación es una afirmación o por ejemplo si tenemos una varible que sea número de empresas y otra variable que sea acreedores (haciendo una biyección evitamos iguales acreedores) y queremos saber el estado de 3 empresas, es decir de menos 3 acreedores, cada una con una deuda de 5, es decir menos 5 y nos piden el estado finaciero de los acreedores pues solo tenemos que (-3)*(-5)= 15. No sé si me explico, pero puedo prometer y prometo que en mi cabeza tiene sentido!
Aunque he de reconocer que la representación gráfica de 2 números complejos es mucho más clara que toda la chapa que he soltado...
Besos!
Lapli, no vale lo de la doble negación, no se trata de retener el truco para hacer ejercicios (vamos, que menos por menos, más, es eso de lo que uno se acuerda toda la vida). Y lo de los acreedores, creo que un alumno de 1º de la eso no va a pillarlo. Y casi ni de 1º de carrera... glups.
Una multiplicación no es más que una repetición de sumas.
2*3 es lo mismo que sumar "2" tres veces o "3" dos veces, es decir: 6.
ahora introducimos un número negativo:
2*(-3)
Esa operación es lo mismo que sumar dos veces (-3), por tanto es (-6), pero también lo podemos ver como sumar 2 "menos tres veces" es decir, restar 2 tres veces, sería: -2-2-2 = -6
Si ahora vemos el problema con dos números negativos, tenemos:
(-2)*(-2) que sería, tal y como en el ejemplo anterior, RESTAR (-2) dos veces, por tanto el resultado es positivo: 4.
Para ver que "restar (-2)" es lo mismo que sumar 2, sólo hay que pensar que los números negativos son como una deuda, restar una deuda es el equivalente a ganar el dinero que cuesta... por tanto restar un número negativo es el equivalente a sumar su valor absoluto.
¿Y presentando al "menos" como un operador cuyo propósito es cambiar el signo a quien se le aplique?
(menos aplicado a más lo cambia a menos)
(menos aplicado a menos lo cambia a más)
(Si convenimos que una "mama" da más que una "mema", y que por conmutatividad da lo mismo que una mema la "mame" que la mame una mema, entonces este "meme" mamario igual está de más)
(Me reservo el ejemplo papable por no escandalizar aún más a la audiencia)
Y más en ¿serio?: Sólo hay 4 posibles variaciones de (sílabas/signos) agrupadas de dos en dos:
Si convenimos que más por más es más (parece lógico) y que se cumple la conmutativa, entonces mas por menos es igual que menos por más y no puede ser igual a más (pues entonces hay 3 resultados iguales). Luego debe ser menos.
Por tanto menos por menos es más.
Estamos suponiendo que los 4 resultados se reparten 2 a 2 entre ambos signos, lo cual también parece lógico por simetría
Sí, es un razonamieno pseudoalgebráico pero más recatado :-)
Me temo que nada de esto pueda servir como explicación a tus chicos ... ¿ o sí?
(También quizás se pueden usar subidas y bajadas de escaleras)
Discúlpeme usted por la "l", quién diría que daría para tanto.
Efectivamente, no busco una demostración de que esa regla deba ser así, demostraciones completametne correctas hay muchas, que generalicen el concepto de grupo y pasen al de anillo. También se puede demostrar en clase que tiene que ser así. Simplemente buscaba una forma de verlo más mundana, pero creo que realmente no lo hay porque se trata en realidad de un convenio. Y las bajadas de escaleras tampoco la veo muy útil (es la que usa el libro de Anaya), sirve muy bien para sumar enteros pero no lo ven claro a la hora de multiplicarlos. En fin, parece que no me he explicado bien en el post...
No estoy de acuerdo en que sea un convenio. Es una consecuencia de añadir más números exigiendo que se conserven algunas propiedades que teníamos. En concreto, para pasar de los naturales a los enteros lo que hacemos es añadir inversos para la suma (elementos opuestos). Y cuando tenemos un opuesto del 1 (esto es, un -1) pues se tiene que
-1 + 1 = 0
Multiplicando por -1 y aplicando distributividad tenemos
(-1)*(-1) + 1*(-1) = 0
y usando que el 1 es neutro del producto nos queda
(-1)*(-1) -1 = 0, de donde
(-1)*(-1) = 1,
pero como tú misma explicas no buscábamos una demostración, sino una interpretación.
El problema a la hora de hacer esto más mundano es la interpretación. Si interpretas números como cantidades (de lo que te de la gana), la idea de número negativo ya se vuelve confusa, y la interpretación del producto (incluso de números positivos) es barroca y, a mi juicio, incorrecta (ya que si de verdad los números indican cantidades, deberíamos incluirles unidades, y al multiplicar tenemos un resultado en unidades diferentes). A mi entender, no es buena idea asociar por defecto un número con una cantidad, y muchísimo menos un producto como "sumar varias veces". Las sumas son sumas, y los productos, productos. Que en los enteros ambos conceptos se relacionen es una casualidad. Confieso que nunca he sido capaz de encontrar una interpretación del concepto de número que sea compatible con todas las operaciones... :-/
Lo de las escaleras podría admitir la variante "columpio".
El signo menos hace bascular una supuesta escalera con un eje en el punto O, cambiando el tramo ascendente por el descendente y viceversa.
La multiplicación 2x3 se visualizaría por ejemplo, colocando un niño cada dos escalones hacia arriba, hasta llegar al sexto escalón (tercer niño).
La multiplicación 2 x (-3), sería hacer bascular esa escalera de forma que el tramo sea ahora descendente.
La (-2)x (-3) volvería a bascular sobre el eje y retornaria a la posición original: 6 escalones ocupados hacia arriba.
Y ya no escribo más...
Sólo para decir que sí, que lo de mimetist está muy bien, pero creo que se buscaban otras alternativas. ¿Es así?
mimetist, efectivamente si se les dice que multiplicar por un negativo "es como sumar tantas veces el número en negativo" probablemente sería el razonamiento adecuado para que pudieran entenderlo a esa edad, pero sigo viéndolo como un "esto es así y punto". De todas formas, en secundaria hay muchos "esto es así y punto", es inevitable, no hay tiempo para todo y la mayoría pasa de cualquier tipo de demostración (y se les olvida en el acto). Sin embargo, sí que puede ser factible para los chavales más espabilados. Es la opción que más me gusta de las que hay.
En cuanto a lo que dice mewt, con convenio me refiero a una propiedad que imponemos para que sea coherente con lo que ya teníamos, pero con estas cosas ya se sabe. Y obviamente, no se les puede decir que la suma y la multiplicación son operaciones y ya está, su cerebro no está preparado para eso, hombre... Como se nota que eres algebrista :P
Y Anónimo, la idea es buena, pero creo que la visión espacial de los chavales no está tan desarrollada. A muchos ya les cuesta pensar en subir y bajar escaleras para sumar enteros. Pueden entender lo de 2x(-3) pero creo que el paso de (-2)x(-3) no lo conciben.
¡Ehhh! ¡Que ni siguiera he mencionado la frase "grupo de Grothendieck"! :-P
Lo de las cantidades sigue sin gustarme. Si se acostumbran a escribir cantidades sin poner unidades, los habrás incapacitado permanentemente para la física. Y luego te encuentras con barbaridades como esta:
Empezamos con un euro.
Un euro vale 100 céntimos, que son 10*10 centimos.
10 céntimos es 0.1 euros, así que tenemos que un euro vale (0.1)*(0.1) euros = 0.01 euros, que es lo mismo que un céntimo. Así que un euro vale lo mismo que un céntimo.
Yo no tendría miedo de ponerles la recta real (o incluso el plano complejo, explicándoles que hay todavía más números, que ya irán aprendiendo) y la idea del cambio de sentido. Para los que no lo entiendan, va a ser un "esto es así porque lo digo yo" de todas formas, y a los que sí lo entiendan les habrás dado una intuición sólida que no se les desmontará cuando aprendan los irracionales. Pero eres tú quien sabe de psicología adolescente.
Te cuento como anécdota, dando una clase de álgebra básica (la nueva álgebra de primera) les estaba explicando la construcción de los cuerpos núméricos (Naturales a partir de conjuntos, enteros como el grupo asociado a un semigrupo, racionales como cuerpo de fracciones, reales como completación topológica, complejos como clausura algebraica). Les comenté que había otras formas de empezar a construir números, y que no tenían por qué dar lugar a los mismos objetos, y me pidieron ejemplos, así que (con muchas reticencias y muy poco rigor) les conté la construcción de Conway de los números surreales, mencionando un poquito los diádicos (y explicándoles cómo podriamos construir p-ádicos) y viendo como funcionaba una completación alternativa al cambiar el valor absoluto por la pseudonorma 2-adica. Cuando estaba acabando, pensaba que los había perdido para siempre, pero para mi sorpresa resultó que entendieron mejor la construcción original. En sus palabras "Cuando lo has hecho para esas cosas tan raras hemos visto que en el procedimiento de antes no importaban los números, sólo las propiedades". Es cierto que son alumnos en principio más predispuestos a la materia, pero es una muestra de que si las cosas se explican paso a paso y centrándose en las ideas más que en la forma, un poco de abstracción no es ningún obstáculo.
jajaja, mewt, sí, pero no olvides que tienen 12 años! Me acuerdo de cuando ni siquiera conseguí convencerlos de que a^t · a^s = a^(t+s) poniendo todas las multiplicaciones en la pizarra (sólo lo pilló una chica).
A mí me sigue gustando la primera interpretación de Mewt, que además no necesita introducir complejos: podemos considerar la multiplicación como un desplazamiento dentro de la recta real. Consideramos el primer factor como "un operador" y el segundo como el "número" sobre el que se opera. Un "operador" positivo lanza al "número" a tantas veces su distancia del cero como su valor hacia el mismo lado de la semirecta como esté situado originalmente; mientras que un "operador" negativo, además de hacer lo mismo, invierte la situación del punto o número origial. Todo el mundo entiende que dos inversiones es la mismo que ninguna...por lo tanto un operador negativo por un número negativo es la mismo que un operador positivo por un número positivo, si los valores absolutos de ambos son iguales.
panta, sí, esa es la prueba más directa y es como se lo expliqué (el día de antes les propuse que me dijeran cuánto sería 7^0 y me decían que o era 7 o era 0 y cuando vieron que sería 7^2/7^2 y por tanto 1, se quedaron un poco obnubilados, pero les duró la obnubilación ese día, porque ya se les va olvidando, hay que recordárselo).
TioPetros, sí, puede ser que esa sea la interpretación más factible. De todas formas, en estas cosas con interpretación un poco enrevesada, creo que los chavales pasan un poco y un par de años después la retoman (creo que es lo que suele pasar al introducir las derivadas).
Y qué tal la clásica interpretación de producto de longitudes como áreas?
Imagina que tienes una tela rectangular elástica, con dos caras. Colocas una esquina en el origen, y la opuesta la vas moviendo. Si lo mueves a la derecha, aumenta el ancho de la tela, si lo mueves hacia arriba, aumenta la altura, y en cualquier caso, la superficie que ocupa es su ancho por su alto.
Ahora bien, si el extremo que mueves pasa a estar más a la izquierda que el origen (2º cuadrante, anchura negativa y altura positiva), la tela la veremos por la otra cara, es decir, estaríamos viendo su área "negativa". Lo mismo pasaría en el cuarto cuadrante (altura negativa, anchura positiva). Pero en el tercer cuadrante, con altura negativa y anchura positiva, habríamos dado la vuelta dos veces a la tela, por lo que veríamos la misma cara que en el primer cuadrante: superficie positiva.
Mitch, creo que lo de las áreas no es adecuado porque los chavales siempre pensarán en un área como algo positivo, da igual hacia dónde empieces a contar. Y claro, si se lo explicas así, no entienden que 2x(-3) sea (-6), sólo ven un rectángulo de área 6...
Hola, me llamo Raquel y soy "la chica" que escribió a Lola mostrándole una de mis inquietudes...quería agredeceros a mewt,lapli,lara,mimetist,anónimo,panta,TioPetros,Mitch y sobretodo a Lola, que dió en el clavo con lo que traté de decirle, vuestras opiniones acerca de como tratar de explicar por qué menos por menos es más. Siento no haber participado más... pero Ley de Murphy Dias de Fiesta=>Gripe al canto :S Un beso a todos y os sigo leyendo ;)
Y si lo dejas en algo filosófico como que en toda parte negativa siempre tiene q haber alg positivo??? No creo q les convezcas,xo seguro q lo recuerdan xa toda su vida
Yo sigo pensando en mi teoría de echar de menos:
más por menos: si echas más de menos a alguien el menos es aún más negativo, igual que si echas menos de más a alguien es que el menos es más "menos".
menos por menos: si echas menos de menos a alguien es que lo echas de más (igual que si lo echas más de más)
Es un galimatías, pero pensándolo tranquilamente en definitiva es lo mismo :P
(ya se sabe que los de letras no damos para más... ;P)
la multiplicacion es una suma abreviada en los numeros naturales y casi en los numeros enteros porque cuando multiplicamos dos numeros positivos el numero va a ser un numero positivo se puede demostrar en la recta numerica que tiene numeros positivos y numeros negativos,dos numeros negativos el resultado tenia que ser otro numero negativopero no ocurre eso es un numero positivo para entender mejor se debe de estudiar las teorias de quien a inventado a investigado los numeros enteros por favor a todas las personas que estan interesados tengo algunas teorias que quiciera discutirlas mi correo es elvis_ma_lo@yahoo.es a los que tienen su maestria su doctorado los espero
Estoy elaborando unas diapositivas como trabajo en mis estudios de maestria en Matemàticas en el curso de diseño instruccional, las cuales explican de manera clara el por què de los signos en la multiplicaiòn de enteros. Apenas las termine las puedo proporcionar a quien las quiera.
Bueno a mi en el colegio me lo enseñaron de esta manera no se si apoyaré en algo, pero ahi va:
consideramos que en una ciudad hay hombres buenos y malos
1 2
+ = hombre bueno + = entra a la ciudad
- = hombre malo - = sale de la ciudad
Así:
(+)(+) = + => hombre bueno que entra a la ciudad es algo bueno
(+)(-) = - => hombre bueno que sale de la ciudad es algo malo
(-)(+) = - => hombre malo que entra a la ciudad es algo malo
(-)(-) = + => hombre malo que sale de la ciudad es algo bueno
Hola , mientras estaba estudiando me asaltaron terribles dudas al respecto de este tema, asi q en mi busqueda de una explicacion llegué a esta página.
Solo queria decir q yo me lo tuve q aprender de carrerilla y sin ejemplos del menos * menos, me hacia una idea intuitiva con lo de las deudas del menos * mas, pero no del menos por menos, fui a preguntar a la profesora q por qué eso era asi... y me dijo :"por convenio",¿Cómo q por convenio?, conclusión: me quede más a cuadros todavía.
Como consejo yo diria q les hagas una demostración (la 1ª de mewt seria bastante apropiada) ya q aunque no la cojan todos habra unos pocos q si y a esos les sera de gran ayuda, si no mira mi ejemplo, q tengo q buscar esto a los 20 años, estudiando ingenieria :-S, Así mismo recuerdo q hace 6 meses busque la demostracion de la formula de las ecs. de 2º grado por q el profesor del momento no nos la demostró.
Ante todo si un alumno se acerca a preguntarte el por qué , no le digas por convenio sin explicarle los fundamentos de éste. Realmente me frustró lo del convenio XD. Aunque de todos modos si son de 12 años tal vez no te corresponda a ti más que decirles q se lo aprendan de carrerilla, pero el profesor de 3º de la ESO ya no se libra.
Gracias Lola por el hilo y gracias Mewt por tu respuesta por q me habeis clarificado mis dudas.
Dan, yo soy de las que no gustan decir "por convenio" nunca... Por ejemplo, a mí me dijeron que 5^0 es 1 por convenio. Un poco de convenio sí es aceptar que exista lo de elevar a 0 pero creo que se puede explicar la igualdad tranquilamente con cociente de potencias iguales y los alumnos lo entienden muy bien. Ahora, en 2º de eso, ya no lo preguntan :P
NADIE PUEDE DAR UN EJENPLO PALPABLE YA QUE LA CONCEPCION DE UN NUMENRO NEGARIVO SOLO SE PUEDE UTILIZAR PARA EL EQUILIBRIO DE ECUACIONES. PARA SER MAS PRECISO NO SE PUEDE DECIR -MENOS VEITE DOLARES. ENTIENDASE QUE LA CONCEPCION DE UN NUMERO NEGATIVO EXISTE SOLAMENTE EN EL PLANO METEMATICO
a mi tambien me gustaria saber porq menos por enos es mas??
lo he buscado y buscado en todos lado y no consigo mas q respuestas q no me parecen sustentadas en la logica matematica...bueno espero q alguien responda esto algun dia...
por todo lo que me han dicho entiendo que el - es solo un agente camniador, y eso me causa muuuuuuuuuuchas dudas ¿los números negativos son equivalentes a los positivos? ¿por que el -1 no es neutral, y el 1 si? y por último, el "no" no es opuesto del "sí" del todo, el opuesto de un "si" es la afirmación opuesta, el no sería el equivalente del 0
---------------------mmm... miren a todo esto se puede decir que filosoficamente (-)*(-)= + por que la masa de los multiples atomicos de un menos por otra cantidad que sea menos simpre te va a dar mas por que el resultado es minosmente mas es decir es mas menosmente menos...----------------------
mmm no se si me explico... si tengo muchas perdidas(menos)al multiplicarlo con otras perdidas me va a dar mas(+) perdidas entonces la teoria de hikms es sierta aunque casi nadie save que existe los unicos que saven de ella son las personas que se han dedicado toda su vida al estudio de la "filosofia del arte logico matematico para la explicacion de lo inexplicable" es una cadena de filosofos de matematica logica que nos unimos para darle respuesta y explicacion a lo inexplicable aunque no tenemos una manera para que ustedes los jobenes lo entiendan por que asi como lo explique mis compañeros y yo lo entendomos y razonamos facil y sencillamente sin complicaciones pero dudo de su poder de captacion ya que no esta tan desarrollado como el de nosotros ... espero que les alla servido esta informacion .............
espero no se compliquen y si lo hacen pues no tomen encuenta mi comentario pero despues se dara a conocer que esa es la respuesta mas sensilla que puedes aver encontrado solo razonalo y analizalo.... bien esspero que lo puedan hacer...
adios
Quiero poner el menos en ves de asin --> con la flecha apuntando al otro lado, pero cuando lo escribo despues se borran las frases de detras y por eso no se entiende nada.
Pero multiplicando con ese menos con la flecha pal otro lado lo uqe sinifica es cambiar er sentido de la otra flecha y si cambiamos los sentidos todo se esplica.
el problema es de interpretación del -.-
el 1º- SUSTRAE de la operación al 2º-.
EJ. -1.-2 = -.-2= a sustraer el - del -2
ej Si vas sacar 2E de tu monedero tendrás en el monedero 2E menos. si anulas el sacar dinero( sustraes la operación) sigues teniendo los 2E en el monedero.
Si en un conjunto de operaciones tienes que sumarle algo negativo. en realidad lo que harás es restar el algo negativo del total, osea que el resultado será el total menos el algo negativo. Si anulas el algo negativo (si sustraes esa operacion del conjuto de operaciones, lo que ibas a quitar lo sigues teniendo.
Me ha escrito una chica haciéndome la siguiente pregunta (resumo mucho el mail):
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