Un día paseando caí en la cuenta de la siguiente paradoja. Imaginemos que tenemos un cuadrado 1x1 como los que siguen y queremos ir de A a B. Lo hacemos de las siguientes formas:
Y así continuamos... En cada tipo de camino, dividiendo por la mitad en cada paso, la longitud es 2: en el primero es 1+1, en el segundo es 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 = 2, en el tercero, 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 2... Seguimos indefinidamente... y... y... y... ¿Qué pasa al final? Al final estos caminos tienden a la diagonal. Pero ¿cuánto mide la diagonal? El señor Pitágoras nos dice que es raíz de 2. Mmmm... tenemos una sucesión de medidas constantemente 2 que nos lleva a una medida raíz de 2. Estooo... mmmm... ¿por qué?
No hay ninguna paradoja, los caminos que estas sumando serían los catetos de los triángulos cuya hipotenusa sería la diagonal AB. La suma de la longitud de los catetos es 2 y la diagonal es raíz cuadrada de 2.
si, pero la paradoja está en una sucesión de medidas constantemente 2 cuyo límite es raíz de 2... sé que matemáticamente hay un razonamiento para justificar este tipo de cosas pero me lo han explicado tan enrevesadamente que no me vale.
Eh, cuidado, porque estas comparando límites de sucesiones diferentes.
Si sumas los catetos estas considerando el sumatorio de 1 hasta 2*n de 1/n, donde n tiene los valores 1,2,4,8,16, etc. Es decir n sólo puede valer los cuadrados 2.
Sin embargo, al considerar la diagonal como tal n adquieres todos los valores.
Parece que la línea de escalones vaya "tendiendo" a la línea diagonal. De hecho, es fácil observar que el área entre ambas líneas se va diviendo por 2 a cada paso(de cada 4 triangulitos eliminamos 2), y por tanto, el área entre las dos líneas tiende a 0! En cambio, la diferencia de longitudes es constante a cada paso.
En realidad, Lola, con la línea de escalones en el infinito, ha construido otro fractal (mira tú con Lola). Con ellos vimos que hay propiedades extrañas. No porque un fractal se acerque infinitamente en cada punto a otra curva o fractal van a tener la misma longitud, ya que cada fractal está de alguna manera característica "infinitamente arrugado" (lo sabríais si vierais mis camisetas), lo que afectará de algún modo a su longitud.
Con los fractales, como con la vida, hay que ir paso a paso. ¡Que no nos líe el infinito!
Pero señores... ¿a que parece una contradicción en toda regla? Como dice lordWings, la sucesión de escaloncillos se aproxima cada vez más a la diagonal... (¿o no? :P). Si es que la vida es un fractal...
El problema es que en esa construcción nos dejamos fuera muchas cosas. Esa construcción nos lleva a una sucesión general que es 2n(1/n)... y que siempre es 2, incluso cuando n tiende a infinito.
El problema es que el teorema de pitágoras habla de la norma de los vectores (aunque la forma simplificada, no lo diga) y las normas euclídeas llevan implícito un "elevado al cuadrado".
Para medir esas diagonales no hay que sumar uno más uno... sino uno al cuadrado más uno al cuadrado y el resultado no es dos, sino raiz de dos al cuadrado. Lo que hace la construcción es dar como resultado el cuadrado de la verdadera medida.
La única forma de usar esa construcción para obtener un resultado correcto sería ver qué coordenadas tienen los vectores de los catetos, sumarlos coordenada a coordenada y luego hallar la norma euclídea... que, seguro, nos daría sqrt(2) (Raíz de dos) como resultado.
No, lo que pasa aquí es un tema de convergencias. Los caminos que tu describes tienden a la diagonal, pero tienden en la norma del supremo (o puntualmente si quieres), pero eso no te asegura que tengas convergencia de las longitudes, ya que no tienes convergencia de las derivadas. Por lo tanto no hay paradoja, es que la manera que estás utilizando tú de medir la distancia entre dos caminos no tiene en cuenta la longitud de estos. Por ejemplo, si tu defines "converger a" como que converja puntualmente el camino y la derivada ya no vas a tener problemas, y lo que te pasará es que tus caminos no se acercaran a la diagonal.
Bueno, Lola, en realidad lo que pretendía decir es que la curva escalonada en el límite no es la diagonal, sino un fractal (con infinitas infinitésimas arrugas) que está infinitamente cerca de la diagonal.
La paradoja consiste en que, aunque tienda a una diagonal que mide raíz de 2, tenemos todas las razones para pensar que la longitud del fractal es 2, ya que es 2 paso a paso. Ir paso a paso es una consideración parecida a la que hicimos con el perímetro y el área de la curva de Koch.
Es posible que el fractal no tenga ni siquiera dimensión 1, sino una dimensión entre 1 y 2 (debido a las infinitas infinitésimas arrugas), y entonces quizá no cabría preguntarse por su "longitud". Quizá podríamos decir que su "perímetro" es 2+raíz(2) y su "área" es 0.
pero no dejan de ser cosas de cierto nivel matemático... me parece curiosa esta pseudocutreparadoja, porque todo el mundo la entiende y para poder explicar la razón de que esto ocurra, se requieren matemáticas a saco... derivadas, convergencia puntual, normas, fractales... :P
(lo mejor es instrucciones para subir una escalera......J.C.....ey que no es jesucristo)
INSTRUCCIONES PARA SUBIR UNA ESCALERA
Nadie habrá dejado de observar que con frecuencia el suelo se pliega de manera tal que una parte sube en ángulo recto con el plano del suelo, y luego la parte siguiente se coloca paralela a este plano, para dar paso a una nueva perpendicular, conducta que se repite en espiral o en línea quebrada hasta alturas sumamente variables. Agachándose y poniendo la mano izquierda en una de las partes verticales, y la derecha en la horizontal correspondiente, se está en posesión momentánea de un peldaño o escalón. Cada uno de estos peldaños, formados como se ve por dos elementos, se sitúa un tanto más arriba y adelante que el anterior, principio que da sentido a la escalera, ya que cualquier otra combinación producirá formas quizá más bellas o pintorescas, pero incapaces de trasladar de una planta baja a un primer piso.
Las escaleras se suben de frente, pues hacia atrás o de costado resultan particularmente incómodas. La actitud natural consiste en mantenerse de pie, los brazos colgando sin esfuerzo, la cabeza erguida aunque no tanto que los ojos dejen de ver los peldaños inmediatamente superiores al que se pisa, y respirando lenta y regularmente. Para subir una escalera se comienza por levantar esa parte del cuerpo situada a la derecha abajo, envuelta casi siempre en cuero o gamuza, y que salvo excepciones cabe exactamente en el escalón. Puesta en el primer peldaño dicha parte, que para abreviar llamaremos pie, se recoge la parte equivalente de la izquierda (también llamada pie, pero que no ha de confundirse con el pie antes citado), y llevándola a la altura del pie, se le hace seguir hasta colocarla en el segundo peldaño, con lo cual en éste descansará el pie, y en el primero descansará el pie. (Los primeros peldaños son siempre los más difíciles, hasta adquirir la coordinación necesaria. La coincidencia de nombre entre el pie y el pie hace difícil la explicación. Cuídese especialmente de no levantar al mismo tiempo el pie y el pie.)
Llegado en esta forma al segundo peldaño, basta repetir alternadamente los movimiento hasta encontrarse con el final de la escalera. Se sale de ella fácilmente, con un ligero golpe de talón que la fija en su sitio, del que no se moverá hasta el momento del descenso.
Imaginátela con atomos así puestos al tresbolillo, a ver si es picuda o no. Y luego sigue disminuyendo los átomos hasta donde quieras y sigue siendo picuda. Sí, sí, picuda.
Sigo defendiendo que aquí la intuición tampoco engaña.
No paro de pensar en el tema (demos un aplauso a Lola).
¡Me retracto! Creo que tanto Amalio como yo estamos en un error. Lo miremos por donde lo miremos, en el infinito, todo punto está sobre la diagonal (la distancia a la diagonal tiende a 0 en el infinito). Así que ni picos ni arrugas ni fractal ni leches. Todo bien planchadito.
No he acabado de entender lo que dice Gerard. Así que Lola tiene razón. La "paradoja" es chocante, fácil de exponer, y difícil de desentrañar.
mwhahaha :P Esta "paradoja" la he expuesto varias veces y la única solución clara que me dan es la de gerard, que me creo porque lo que dice gerard sobre estas cuestiones va a misa, que para eso es analista, pero lo más curioso es lo complicado que es dar una explicación...
Aunque los movimientos del ajedrez no cumplen el teorema de Pitágoras, una torre
siempre "tarda" el doble en acceder a una casilla en su diagonal que un alfil, sea cual sea el tamaño del tablero e incluso en tableros imaginarios con un número indefinido de escaques, por mucho que la torre "acorte" el paso.
Por otro lado, si se dibuja la diagonal en horizontal (d(x)) (un río, por ilustrar) y las líneas quebradas por arriba, montañitas por ejemplo, (fn(x)), la convergencia de la que hablas lo que indica es que /fn(x)- d(x)/ --> 0 , es decir que la altura de esas montañitas se hace tan pequeña como se quiera, para un escalador vertical que quisiera coronar una de ellas, pero eso es completamente distinto a afirmar que un excursionista que quiera recorrer todas las laderas de todas las montañitas andará igual espacio que otro que se limite a marchar horizontalmente por la orilla del río.
Esto está relacionado con el concepto de área bajo una curva, es decir, integrales. Sí que el área que dejan los caminos tiende al área que hay bajo la diagonal, lo miremos por donde lo miremos (ya sean las sumas superiores, como dice Anónimo, las inferiores, o las de "Darboux" que pongo yo en el post). Las áreas sí... pero las longitudes... no :P
Pensad que os vais acercando al número de escalones tan grande como vosotros queraís. Pues bien, la suma sigue siendo 2. Bueno, entonces según vosotros, en ese momento (fantástico o fantasioso para vosotros) en que el número es aun mayor que tan grande como queramos, ocurre un curioso salto de 2 a raíz de 2. Ala así, de repente. No te joribia.
Nada, que viene el ada con la varita mágica y lo convierte DE REPENTE en raíz de 2. Me vais a decir que el infinito no llega de repente, pero sí es cierto que llega gradualmente y aquí NUNCA HAY GRADUACION.
Yo sigo insistiendo en que no va contra la intuición Y sin saber fractales ni haber estudiado matemátcas (que sí las he estudiado) creo que simpre hubiese pensado que el trayecto es 1+1=2, aunque cada uno de esos dos unos lo dividamios en infinitos trocitos pequeños.
Intuitivamente, una curva puede verse como el trazo de un lápiz que se ha ido moviendo de A a B en un tiempo T (lo que los matemáticos llaman parametrización). Por definición, la longitud de la curva es la integral en el tiempo (de 0 a T) de la celeridad (módulo de la velocidad) del lápiz.
Por simplicidad, giramos el cuadrado de manera que la diagonal quede horizontal (como hizo el anónimo de hace un par de mensajes).
Si el lápiz va de A a B por la diagonal a velocidad constante, entonces, en todo momento:
-La velocidad horizontal es v_x=(x_B-x_A)/T.
-La velocidad vertical es v_y=0.
-El módulo (la celeridad) es constante y vale (B-A)/T.
Si el lápiz va de A a B por la línea escalonada a celeridad constante, entonces:
- Cuando sube, va a v_x=v_y=(x_B-x_A)/T.
- Cuando baja, va a v_x=-v_y=(x_B-x_A)/T.
- El módulo (la celeridad) es constante y vale raíz(2)(x_B-x_A)/T.
Todo esto independiente del número de escalones, que sólo afecta a la velocidad con la que cambia el signo de v_y, cosa que no afecta al módulo.
Entonces vemos que, aunque la sucesión de líneas escalonadas, al ir aumentando el número de escalones, "tiende" (se acerca infinitamente) a la línea diagonal, la celeridad en las líneas escalonadas no tiene por qué "tender" a la celeridad en la diagonal, y por tanto la longitud de las líneas escalonadas no tiene por qué "tender" a la longitud de la diagonal.
Reumen:
-Las escaleras tienden a la diagonal.
-La longitud de las escaleras es 2 y tiende a 2.
-La longitud de la diagonal es raíz de 2.
-Las escaleras pueden tender a la diagonal, aunque la longitud de las escaleras no tiendan a la longitud de la diagonal. Se comprueba que matemáticamente no es incompatible, aunque intuitivamente lo parezca.
Perdona, Amalio, lo de la velocidad es solo una manera intuitiva de entender el concepto de parametrización de una curva. Evidentemente, la trayectoria de la curva es la que es, no depende de la velocidad con la que haya podido trazarse.
La "transformación" ocurre justo en el paso a infinito. La intuición nos miente. Matemáticamente, el límite de la longitud (2, no lo niego) no tiene por qué coincidir con la longitud del límite (raíz de 2).
Tines justo delante un contraejemplo.
Madre mía, !qué recuerdos¡. Tras intentar escurrir un poco la sesera llego a las siguientes conclusiones (perdón por las ordinarieces que pueda decir).
1.- El conjunto de las funciones continuas en [0,1] con gráfica de longitud 2 no es cerrado. Ya sé que no son funciones propiamente dichas, pero si las giramos 45 grados se dan un aire :-).
2.- Aunque realmente parece una paradoja, podemos hacer mil ejemplos más de gráficos de longitud arbitraria (mayor que raiz de 2) y con límite la diagonal. Imaginemos una que suba y baje muchas veces.
3.- Hay muchas paradojas más del mismo tipo con áreas, bien en [0,1] o quizás más fáciles de ver en [0,inf). Imaginemos fn con cero en todo menos en [n,n+1] donde tiene la forma que sea. Sucesión constante de áreas y en cambio la función "límite" igual a la constante 0.
Esto me hace recordar aquello de la convergencia punto a punto, que debe ser precisamente lo que pasa aquí. Como comentaba en el punto 1, la diagonal no es límite de nada, es sólo la convergencia punto a punto.
Es más lo mismo para que se dé lo "intuitivo" el conjunto en cuestión tiene que ser alguna estructura de subespacio o algo así que lo de tener longitud 2 no cumple.
A mí desde luego no me ha mentido, porque el resultado coincide con lo que yo intuyo.
Mira yo estudié Calculo Infinitesimal en La carrera cuando era joven y entre otros conceptos tuve siempre muy claro que el paso a infimito nunca ocurre de repente.
¿Por que os repugna pensar en una diagonal totamente recta a nuestra escala pero picuda en escala infinitésimal? A nuestra escala no vemos los picos (esta es la única verdad) pro sigue siendo una diagonal muy especial(mente picuda).
Al principio (si releéis todo) tuve la misma intuición que Amalio. Al final me pregunté (no sé si bien o mal): ¿en el paso a infinito, no están todos los puntos sobre la diagonal, puesto que están todos a distancia cero de ella? ¿no tenemos pues en el paso a infinito una diagonal bien planchadita sin picos ni arrugas?
Me parece que por hoy dejo esta obsesión y mejor me voy a dormir.
Hoy vas a soñar con la famosa diagonal esa, pero tu primera intuición fue la buena. Te aconsejo, muy en serio que te dejes guiar mucho más por la intuición, excepto en Mecánica Cuántica.
Pero hay infinitos puntos a distancia cero de ella, e (infinito) multiplicado por (cateto/infinito) no tiene por que ser cero.
Ya sabes que infinito dividido por infinito puede ser cualquier cosa.
Efectivamente, he soñado con escaleras, cueros y gamuzas...
Para empezar, después de dudar mucho, diría que tras el paso al límite sólo hay un punto que esté a distancia 0 de otro. Así pues, tras el paso al límite todos los puntos de la escalera están sobre la diagonal (Lo siento, Amalio, no es por contradecir).
Amalio sigue dudando de que una propiedad pueda mantenerse constante para todo entero finito, (en este caso, la longitud de las escaleras siempre es la suma de los dos catetos, es decir, 2, para todo número finito de escalones por grande que sea), de repente, drásticamente, antiintuitivamente, cambie de valor en el paso a infinito (la diagonal mide raiz de 2).
De hecho, después de mirarlo con lupa, creo que este cambio no ha sido drástico, sino que era una crónica de una muerte anunciada. Lo que pasa es que el cambio estaba oculto. ¡Toma Cógigo DaVinci!
¿Recordáis el argumento del lápiz? (Habíamos inclinado el cuadrado para que el eje x siguiera la diagonal.)
Si lo repasáis, veréis que el módulo de la velocidad está escondiendo el hecho de que v_y va cambiando de signo cada vez más rápido. Pero este hecho es insostenible en el infinito, como veremos.
La velocidad v_x en la línea escalonada tiende a la velocidad v_x en la diagonal. Ojalá que la velocidad v_y en la línea escalonada tendiera a la velocidad v_y en la diagonal, entonces el lápiz iría con la misma celeridad y la longitud recorrida sería la misma.
Pero NO! La velocidad v_y en la línea escalonada no converge a 0! De hecho, es un límite indeterminado. Es como si v_y pasara de su valor positivo a su valor negativo inmediatamente y a cada momento (algo parecido pasaba en la función sin(1/x) en x=0). Resultado, el lápiz no puede mantener la celeridad en el paso a infinito, y la longitud en la diagonal cambia.
Como dijo Gerard sucintamente (que por eso debe ser matemático analista), para que se conserve la longitud en el paso a infinito, no basta que converja la función de la curva, sino que también tienen que converger sus derivadas.
Hay otros problemas en que se cumple algo para todo número finito, sin ninguna cota, pero que en el paso a infinito la situación es insostenible.
Por ejemplo, un día vi con sorpresa que puede crearse, con un poco de estrategia, un conjunto finito (no acotado, por grande que sea) de puntos, no todos alineados, de manera que todos los puntos están a distancias enteras entre sí, PERO no podemos dar el paso al infinito: no hay ningún conjunto infinito de puntos, no todos alineados, de manera que todos los puntos están a distancias enteras entre sí. ¿Qué falla? ¿Si no hay ningún entero máximo para el que se deje de cumplir, por qué en el infinito no se cumple? En este caso, la razón oculta era que, siguiendo la misma estrategia, la distancia entre los puntos iba tendiendo a infinito (lo que deja de ser un entero).
"Para empezar, después de dudar mucho, diría que tras el paso al límite sólo hay un punto que esté a distancia 0 de otro. Así pues, tras el paso al límite todos los puntos de la escalera están sobre la diagonal (Lo siento, Amalio, no es por contradecir)."
No lo sientas. En este párrafo estoy totalmente de acuerdo contigo, pero para esto no hay que dudar nada: ello es evidente.
Pero son infinitos puntos que están a distancia cero, y no olvides que, [Cero multiplicado por Infinito], es indeterminado y en este caso no te va a salir cero como pretendes. Además ya sabes la solución no es raiz de 2, sino 2. No se lo que pretendes, en serio. Tuviste una buena intuición y ahora quieres demostrar algo que no es verdad, que nos traguemos que la solución es raiz de 2.
Por qué te repugna tanto que pueda haber una linea recta y además picuda. También podría haber otra linea recta con caracolillos por ejemplo. Esa aun mediría más. Y claro que está relacionado con los fractales.
No pensé que este post iba a dar tantos quebraderos de cabeza. A mí me los dió en su momento, y, efectivamente, creo que la solución está en la convergencia puntual. Parece una engañifa pero es así. Creo que Lordwings (que se ha ganado el premio Cauchy en este post) lo explica bien con lo del lápiz, pero no es fácil de entender. Ahí está la (supuesta) gracia de esta pseudo-paradoja.
Amalio, la clave está en que esta convergencia de longitudes nos es la correcta si la curva es "picuda" como tú dices. nos aproximamos y en el límite todos los puntos están en la diagonal, pero la convergencia es punto a punto... Siempre me pareció raro el análisis funcional, todo sea dicho :P
Pobre, Lola. ¡En qué le hemos convertido su blog! ¡Le espantaremos a los parroquianos!
No, si lo del fractal me tienta diabólicamente, no digo que no.
Pero el angelito matemático que me sopla ideas desde la derecha, me repite, poético él: "una recta es una recta es una recta". Y que no hay más que un tipo de recta (la hayan creado o no a partir de picos que hayan ido despareciendo, tendiendo a 0), y que cada segmento de recta tiene una sola longitud (si se mide de la misma forma, con la misma métrica).
Vale será cuestión de definición, pero yo siempre podré pensar, incluso en el límite, en una recta con infinitos picos de forma que memorice su procedencia. Vale , me dirás que esa no es una recta tal como la definimos. Y yo te responderé que sigue manteniendo los infinitos picos infinitesimales. Entonces me responderas que así podriamos definir infinitos tipos de rectas, y yo a su ver te indicaré que entonces no me hables de su procedencia. Si en el último momento (infinito) pierde su procedencia entonces ya no tiene nada que ver con lo que has planteado.
Yo te digo que no hay nada que repugne a la mente en imaginar una recta con infinitos picos infinitesimales.
Los de Wikipedia parezca que apuesten por lo del fractal, porque yuxtaponen la "diagonal paradox" a la "coastline paradox" (eso de que, como que la costa es un fractal en el sentido de que a toda escala siguen apareciendo nuevos detalles cada vez más pequeños, cuanto más pequeña es la regla con la que la medimos, nos sale una longitud más larga de costa).
Así pues, cuando os vayáis de vacaciones a un hotel, no os fiéis de los "doscientos metros de playa" que publicitan.
No obstante esa recta fractal tal como la imagino sigue teniendo dimensión 1.
Otra cosa sería si viniera de comprimir el área de un rectangulo hasta transformarlo en un segmento. También podias haber puesto este ejemplo ¿No Lola? (ya puestos a marear la perdiz).
A mí se me ocurre una solución más sencilla (y perdonadme los matemáticos):
La contradicción está en el propio enunciado. No es lo mismo medir la distancia de AB que calcular la medida horizontal y vertical de los escalones.
La distancia de A a B, en todos los casos de tamaño de escalones, es la recta que une los extremos, que mide raiz de 2; en este caso, la "regla de medir" se sitúa en la dirección de la diagonal.
Pero cuando medimos la longitud de los escalones, en ralidad estamos haciendo dos medidas, una con la "regla de medir" en horizontal, y otra con la "regla de medir" en vertical (lo que equivale a medir la proyección de los escalones sobre la horizontal, y luego la proyección sobre la vertical); en este caso, la suma de ambas medidas siempre será dos.
Desde este punto de vista, cuando el número de escalones tiende a infinito, es indiferente si la recta es picuda o no: si pones la "regla de medir" en diagonal, estás midiendo la distancia AB, y da raiz de 2.
Ahora, si te empeñas en sumar la proyección de la recta sobre la horizontal (es decir, la "regla de medir" en horizontal) con la proyección de la recta sobre la vertical (es decir, la "regla de medir" en vertical), ya no estas calculando la distancia AB, sino otra cosa distinta, que siempre dará como resultado 2.
Bueno, rufo, es así, pero no dejar de parecer una contradicción, ya que en el infinito, todos los puntos están en la diagonal. De hecho, creo recordar que si este proceso lo haces con curvas rectificables (a saber, escaleras que sean curvas), sí que converge a raíz de dos... (creo).
Si partimos de A, y añadimos un punto en la dirección diagonal a B, como el punto es adimensional no habríamos avanzado absolutamente nada (je je, eso si que es una paradoja); así que no hay más remedio que convenir que, cada vez que se añade un punto, se avanza tanto en horizontal como en vertical, ¿no?. Pues eso es lo que en conjunto mide 2.
Y además.. no me digas que no es completamente distinto poner el escalímetro en diagonal y ¡zas!, de una sola vez medir 1'4142.. que venga a darle a la muñeca pasando el escalimetro de horizontal a vertical en todos y cada uno de los puntos de la recta. Solo por tanto trabajo merece medir 2
jajajaja, si te pones a medir infinitas veces... sí, hasta se lo merece... es como mi profe de estadísitica, que nos decía que un alumno suyo no se creía no sé qué de probabilidad y lleva no sé cuántos años tirando un dado... en fin... :P
Supongo que sí se podría crear una geometría que tuviera en cuenta la topología infinitesimal de una recta atendiendo a su metodo de generación como límite de otro tipo de curva (olvidémosnos de Euclides)
En esa geometría la longitud de ese tipo de recta sería variable en función de su caracoleado o picudez. Ahí está el concepto de fractal. En ese tipo de geometría no existiría la paradoja que tú planteas porque mi recta picuda sí estaría contemplada.
En este tipo de recta habría una distancia mínima que es la de la geometría de Euclides, pero si la tengo que recorrer siguiendo el caracoleado infinitesimal (que yo afirmo que SI EXISTE y que no se debe obviar) entonces la distancia sería mayor.
No me apeo de mi burro. Tu me dirás que recta no hay mas que una y yo te contestaré que por culpa de eso se da tu paradoja, creándose una profunda discontinuidad.
Me lié, en realidad estas páginas no son de Wikipedia, sino de Mathworld (que se proclama "the web's most extensive mathematics resource"). ¿La conocéis? Es un portal bastante útil y serio de matemáticas. Por eso me extraña aún más que hagan un link entre nuestra ya querida sucesión de escaleras con un fractal. ¿Amalio los habrá convencido con su teoría de la diagonal picuda?
(No sé qué ha pasado en el post anterior, que he puesto un texto entre signos de < < y > > y ha desaparecido).
Les he enviado a los de MathWorld un comentario, a ver si responden.
(Prohibido reirse de mi inglés macarrónico)
Thank you! The following message has been sent to the MathWorld team:
Source URL: http://mathworld.wolfram.com/DiagonalParadox.html
Name: lordWings
Comment type: TYPO
Country: Spain
Comments: I've been discussing the "diagonal paradox" with some friends. Your article on this subject links with the "coastline paradox", which gave the impression that the diagonal paradox might be solved using fractals. We had a heated discussion, but now most of us think that the line with steps doesn't tend to a fractal with length 2 (which may appear to be the thesis of your article), but to the diagonal of the square (the article only says "visually appears to approach-"). Our conclusion is that the paradox is more related to the notion that "uniform convergence" of the function of a parameterized curve doesn't preserve the "curve length" (or "arc length") if there is no "uniform convergence" of the differentiation of the parameterized curve(which appears to be the case here, where the differentiation of the parameterized curve gives an "essential singularity" at every point). Even if we know that it may be impossible, we would be very grateful if we received any kind of feedback from you.
MathWorld usage: daily
Mathematica usage: never
No soy un experto en análisis matemático. Finalmente y porque ne orientaron mal estudié ingeniería que no me gusta, (me encanta la Física) pero releed con detalle mi post 65 y meditar en él. No es ninguna chorrada.
La respuesta de MathWorld ha sido escueta y críptica. Vamos, decepcionante.
"It's fractally related to a very boring coastline. --Ed pegg Jr"
Yo interpreto que sostienen que es un fractal (por su construcción autosimilar), aunque al final resulte completamente llano (aunque no lo dejan muy claro, porque no se mojan mucho con lo de "boring").
Tanto el que escribió el artículo original (Eric W. Weisstein) como el que ha respondido el mensaje (Ed Pegg Jr.) son matemáticos serios con muchas publicaciones de divulgación matemática, creadores de las páginas web MathWorld y MathPuzzle, y el primero es uno de los (muchos) asesores matemáticos de la serie "numb3rs".
Pienso que emplea esta frase porque esa recta picudo-infinitesimal es una linea un poco aburrida. Como una especie de escalera con infinitos peldaños pero siempre iguales. No como la costa que le gusta a Lola con Sol y Arena y con curvas (sobre todo con curvas).
Pero fijate que esta gente tan lista, no se atreven a decir, o no quieren, que es una recta como la de Euclides o distancia más corta entre dos puntos. Yo pienso que esta recta de Euclides nunca podrá ser el límite del caso planteado por Lola. Al fin y al cabo el infinito no existe. Y en este problema cuando tendemos a infinito la longitud 2 no hace el más minimo intento o ademán de transformarse en la longitud raíz de 2.
Otra idea que se me ocurre para ilustrar 'gráficamente' el tema:
Si yo miro la recta de Euclides con una lupa de infinitos aumentos, seguirá siendo una recta.
Pero si con esa lupa de infinitos aumentos miro la recta picuda, volveríamos a ver la escalerita aburrida con sus picos, lo mismo que pasa con un fractal, que aunque lo mires con el 'microscopio' sigue apreciándose su textura.
Ja, ja. Seguimos con el tema. ¡Hemos generado más posts que en la porra futbolera!
Amalio, en un fractal cualquiera se seguirían viendo nuevos detalles (picos, rugosidades, autosimilaridades...) con cualquier número finito de aumentos con microscopio, por preciso que fuera éste (por grande que sea el número de aumentos). Es lo que sucede con una línea de costa.
Sin embargo, en tu propuesto fractal, al que llegamos en el paso infinito de las escaleras (dices que el infinito no existe, pero al menos reconóceme que el límite sí existe, aunque "no se llegue a él"), para todo número finito n de aumentos con microscopio, se ve perfectamente liso. Por eso la línea de costa es aburrida.
Paradójicamente, tú que crees que en el infinito no puede haber un cambio brusco, supones que con un número infinito de aumentos sí verías los picos que en ningún número finito de aumentos se ven.
Dices:
"Paradójicamente, tú que crees que en el infinito no puede haber un cambio brusco, supones que con un número infinito de aumentos sí verías los picos que en ningún número finito de aumentos se ven."
Pues por eso mismo lo sostengo porque no creo que tampoco en el infinito se alise totalmente la recta. Mantengo que incluso en el infinito sigue esistiendo la picudez. Sigo afirmando que la recta límite del problema de este tema de Lola, tiene una infinitesimal picudez. En el punto 65 propongo una gómetria que contemple estos tipos de 'recta' (fractales) que insisto en que SI existen, cuando se definen como límites de otras curvas.
(Lo que me dices de los fractales ya lo sé, pero recalco que este tema tiene de fractal el hecho de que con mi lupa infinita comienzo a ver unas picos que aparentemente no existían.)
Desde el punto de vista de la geometría Euclidiana ya sé que no tengo nada que rascar. Pero esta geometría casca con este límite que nos ha planteado Lola y otros muchos posibles planteables. Por eso propongo una nueva geometría que intuyo (de nuevo) que podría definirse de forma coherente y contemplase con normalidad esta echo de aceptar infinitas rectas entre dos puntos dados con todo tipo de ondeado. ¿Utilidad de esa geometría? Pues tal vez no tuviera mucha, pero al menos resolvería problemas de este tìpo, QUE NO ESTAN RESUELTOS por la geometría que usamos.
Amalio, yo me planto. Lola creo que se plantó hace rato (la pobre, con las oposiciones).
Si quieres, te presento mi amigo JB, que tampoco cree mucho en que se llegue nunca al límite. Todavía no le he convencido de que 0,9999999... (periódico) es exactamente el mismo número que 1. Para él, en el infinito todavía hay un dígito de diferencia, por pequeño e insignificante que sea. Yo le digo que la diferencia tiende a 0, y en el límite (que aunque no se llegue, existe, y es precisamente lo que estamos mirando) es 0, pero nunca le convenzo (o disfruta de exasperarme).
Más o menos como tu escalera en el límite, donde tú todavía le ves picos si amplías infinitamente. Yo en cambio digo que la escalera tiende punto a punto a la diagonal y en el límite (que aunque no se llegue, existe, y es precisamente el límite en sí lo que estamos mirando) es la diagonal.
La geometría que propones (estudiar curvas como límite de otras curvas, atendiendo a cómo se ha tendido hacia ellas) es conceptualmente interesante, aunque creo que conceptualmente errónea. :D ¿Cómo se definirían las curvas de partida que tienden a las curvas finales? ¿Esas sí son independientes de cómo se ha tendido a ellas?
Es parecido al concepto para crear los "números surreales". Creo que te encantaría. Pero mejor lo dejamos para cuando Lola sea funcionaria.
En el ejemplo de tu amigo del 0,99999...., estaría totalmente de acuerdo contigo. No lo estaría en absoluto con tu amigo, porque ese linite cada vez se acerca más a 1 progresivamente.
Pero en el de Lola, mi querida Lola, no hay forma de acercar progresivamente el 2 a raíz de 2. Cuando metemos el número llamado infinito (?), pasa de un valor a otro de forma repentina. Por eso yo también empleo el truco (no se si te fijas en la transcendencia de este truco) de emplear una lupa infinita.
Toda mi repugnacia proviene en aceptar un límite en el que se produce un salto de forma repentina. Imaginete el problema de Lola con un número de pasos igual a todos los átomos del Universo elevado a una potencia igual a todos los atomos del Universo y además tantas veces como átomos hay en el Universo, o incuso las veces que quieras de más. Bueno, pues el recorrido seguiría siendo 2 y no raíz de 2. Entonces yo digo, bueno pues en el infinito tambien será 2, y si no estamos haciendo trampa. Por eso propongo esa geométría fractal.
Los picos se acercan a la recta totalmente cuando hacemos infinitos pasos de esos. De eso no me tienes que convencer, estoy de acuerdo.
Pero los puntos de acercamiento también se hacen infinitos y este aspecto no es baladí.
No es como una sierra de 2000 picos que se acercan a la recta hasta que desaparecen. Pero siguen siendo 2000 picos que desaparecen.
Aquí el desarrollo de esa recta no lo puedes hacer desaparecer nunca y nunca podrá ser raiz de 2. Son infinitos puntos los que se acercan a la recta, y esos infinitos aún siguen sumando la distancia PORQUE SON INFINITOS.
Que no, Amalio, que no, intentar mirar con una lupa infinita los "escalonésimos" en la diagonal límite es como decir que el dígito número infinito de 0,9999... es 9.
Una pregunta a los matemáticos:
Si dibujamos el segmento AB (todo rectito, sin escalones ni nada), y luego lo proyectamos sobre el eje horizontal formando el segmento AB' (B' proyección horizontal de B) resulta que AB y AB' tienen el mismo número de puntos (no sé si es un barbarismo esto que digo), dado que cada uno delos infinitos puntos de AB tiene su correspondiente en AB', unidos por una vertical.
Pues si tienen el mismo número de puntos, ¿cómo es posible que AB mida 1'4142, y AB' mida 1?
¿No es ésta la misma paradoja que la de los escalones?, en el fondo, proyectar sobre la horizontal equivale a trasladar hacia abajo los infinitos escalones de la diagonal, "para verlos mejor".
Quizás la cuestión estriba en que cuando medimos el segmento AB, estamos observando los infinitos puntos que lo forman en su dirección; pero cuando calculamos el límite de la serie de la que hablamos, no es que haya picos, sino que estamos mirando los puntos desde la horizontal.
no, no es la misma paradoja. No se pueden contar puntos, hay infinitos y punto (jeje). La diferencia, en el caso de puntos, está en comparar un conjunto numerable y otro que no lo sea (los racionales y los reales, por ejemplo). No en vano, hay la misma "cantidad de puntos" en toda la recta real que en el trozo más pequeño de ella que se te ocurra (que no sea un único punto). Sin embargo en ese minúsculo intervalo, por ejemplo, ]0.00001, 0.00002[, hay infinitas veces más puntos que en todos los racionales del mundo mundial (y piensa que hay infinitos racionales entre cada dos números que te dé la gana). En fin, cuando acabe las opos, éste sería un buen tema a tratar, aunque ya hablamos un poco hace unos meses :)
Claro que el último número infinito de 0,9999...es 9. Pero eso es igual que decir que tiende al número 1. me da igua el 0, seguido de infinitos nueves, que 1.
También es cierto que él límite de esa escalera es la diagonal. Eso nunca te lo he discutido. Pero si yo amplío infinitas veces esa diagonal llegaría a ver la irregularidad que tenía antes de llegar al límite.
Lo de la lupa sería como si yo recorriera al revés infinitas veces la generación del numero 1 de tu ejemplo. Podría saber si viene del 0.9999.. o por ejemplo del 1,000000....1.
Yo digo que habría alguna geometría que tuviera en cuenta el caracoleado o fractalidad de esa recta.
Repito que en la geometria actual, o vamos a llamarle Euclidiana no se tiene en cuenta esto. Pero yo digo que está ahí.
Yo pretendía decir que no existe el "paso número infinito" (si se está en un paso, no se está en el infinito). No tiene sentido preguntarse por el "dígito número infinito" (o "último dígito infinito", como tú le llamas) de 0,9999999..., simplemente porque no hay último.
Tampoco creo que exista ni siquiera conceptualmente una "lupa con infinitas ampliaciones", para poder pasar del "paso infinito" al paso 0. En nuestras matemáticas habituales, el límite no conserva información sobre la sucesión (sucesiones muy diferentes pueden tener el mismo límite). Si te entiendo bien, tú pretenderías estudiar un concepto nuevo en el que el límite incluyera información sobre la sucesión que lo crea. Entonces, el mismo límite tendría propiedades diferentes dependiendo de la sucesión que la creara. Mucha suerte.
En cuanto al mensaje críptico de los de Mathworld, creo simplemente que no querían dedicarle mucho tiempo y me "despacharon" rápido. Sí, un poco frustrante.
No es un límite normal y corriente, porque pegaría un salto.
Hay algo que lo hace diferente, y es que en el infinito, también el número de picos se hace infinito. Y ahí se fastidia todo porque tenemos un segmento de INFINITOS picos. Como muy bien dices tú, la distancia de cada pico a la recta de Euclides se hace cero, pero OJO que son INFINITOS piquitos. Entonces el DESARROLLO de esa "recta" sigue siendo 2, y nunca podrá ser raiz de 2. ¿Me explico ahora?
Y tampoco resolveríamos nada, porque en el fondo tú sabes muy bien de lo que estoy hablando yo, que a mi vez se muy bien de lo que hablas tú. En relidad tienes razón tú, pero mi razonamiento no te deja del todo tranquilo, ni tampoco a la inefable Lola.
¡No me estoy rajando! :D :D :D
Estoy en un impasse, estudiando de qué manera (con)vencer a un polemista kamikaze y acabar cuerdo y en un tiempo finito.
¿Qué te parece este contraataque?:
Todavía alguien podría convencerme de que el límite es un fractal de longitud 2, no derivable en ningún punto (lo vimos con mi lápiz) y de alguna manera infinitamente cercano a la diagonal pero sin serlo (maravillas del continuo, donde por ejemplo, no existe el número positivo más pequeño).
Pero para convencerme, se necesitarían argumentos sólidos y no palos al agua, compañero Amalio.
Bueno, por algo se empieza. Ya veo que estás medio convencido. Y en cuanto al número positivo mas pequeño, ahí tienes el 0+, que no es lo mismo que el 0-. LLamados también +0 y -0, ambos iguales a 0, pero por arriba y por debajo respectivamente. Ja , ja , ja.
Y lo de no derivable en ningún punto está muy bien. A ver como lo vas a derivar con esos infinitos picos. En el punto de la derivada siempre habrá un pico. Ja, ja, ja, ja,ja, y ja.
En realidad,la paradoja surge de un error en el planteamiento de la primera hipótesis(Espero hacerme entender, que no siempre es facil). Por muchas divisiones que hagamos, por muy pequeños que sean los "escalones" que se forman, el trayecto que hacemos nunca es diagonal, y ésto se cumple a cualquier nivel de división de tramos. Por eso, al aproximar el valor de la distancia recorrida con el de la diagonal correspondiente, siempre estaremos cometiendo un error.
El error que se comete al aplicar esta aproximación, en cada "escalón", se puede definir como la relación entre la distancia recorrida (suma de tramos) y la diagonal correspondiente: error = (L + L)/AB, donde L es la distancia de un tramo del escalón. Se puede comprobar que este error es constante para cualquier "escalon" (de cualquier tamaño) y su valor es 1,4142...que no es ni mas ni menos que dos veces el seno de 45º (ya que L/AB = Sen 45º).A este error lo llamamos error absoluto. Segun ésto, es igual de grosero aproximar la distancia recorrida al valor de la diagonal, ya se trate de un "escalón" grande o pequeño. Este error, es constante para triángulos semejantes y por tanto, en nuestro caso, no es acumulativo.
Por otro lado, lo que en principio debería aproximarse al valor..."Raiz de 2" (propuesto por Pitágoras), no es la suma de los tramos que forman el trayecto total, si no la suma de los cuadrados de esos tramos, es decir, la suma de las diagonales correspondientes o, dicho de otro modo, suma de las hipotenusas, cuya suma no solo se aproxima, si no que es igual al valor de la hipotenusa AB (Raiz de 2). En este caso se plantea otro tipo de error: se trata del error relativo a la hipotenusa AB, es decir, la relación etre la distancia recorrida en un escalón y la diagonal AB. En este caso, cuantos mas escalones hagamos, mas pequeños seran los tramos de cada escalón y menor sera el error relativo de los esclones. Así pues, este error relativo no es constante (va decreciendo). Se trata de un error acumulativo, de manera que, en cada nivel de división, la suma de todos los errores relativos cometidos siempre da como resultado 2.Sen45º= 1,4142...el error absoluto.
Matematicamente se puede demostrar que al sumar los tramos (en cualquier nivel de división) y compararlos (dividirlos) con el valor de la diagonal AB lo que tenemos en realidad es una suma de errores relativos que viene a ser(L+L)/AB, es decir, el error absoluto. Por eso no es de extrañar que por muchas divisiones que hagamos y por pequeños que sean los escalones el error que se presenta al comparar la suma de tramos con la hipotenusa siempre sera el mismo: 2/Raiz(2)=1.4142...
Me explico de otro modo: Si la suma de los tramos se fuese aproximando al valor de la diagonal AB conforme los hacemos mas pequeños (como sugiere la primera hipótesis), al final, la suma de errores relativos debería disminuir, es decir, el error absoluto debería disminuir (su valor tendería a 1), y esto es imposible ya que, como hemos visto, el error absoluto es constante. Como consecuencia,la primera hipótesis es errónea, es decir, la suma de tramos no puede aproximarse al valor de la diagonal AB por muchos tramos que haya y por pequeños que éstos sean. Lo que se aproxima es la suma de los cuadrados de esos tramos, de hecho es una igualdad.
Ricardo, lo que dices es innegable para un número finito de escalones. Longitud siempre 2. Y nada nos hace pensar lo contrario para el límite en el infinito.
Bueno, nada excepto que el dibujo de los escalones sí tiende a la diagonal punto a punto. Así pues, si en el límite la escalera se transforma punto a punto en la diagonal, la longitud debería ser raíz de 2.
El segundo de estos 2 párrafos, te gustaría creertelo, pero algo en tu mente te repugna...
Fijate que al final acabas hablando de un dibujo que se transforma.
Ese afán que tienes en pasarle la plancha como un amo de casa, no te consigue hacer eliminar las infinitesimales arrugas. En el fondo tú también crees que hay una trampa ahí.
"Planchar infinitas arruguitas que no tienen sitio donde meterse no es tan fácil."
Ja, ja, ja... Me ha encantado esta frase.
Me imagino planchando por arriba dentro de un recipiente que no permita aumentar la longitud más allá de raíz de dos. Lo único que se me ocurre es que la tela quede comprimida, más gruesa. Es decir, que el fractal deje de tener dimensión 1, y entonces la longitud deje de tener mucho sentido.
Lo que me convenció de retractarme de la idea de fractal es que me parece absurdo lo de "infinitamente cercano a la diagonal pero sin serlo".
A mí lo que no me gustó de este ejercicio fue el recurrir al concepto del infinito (humano, demasiado humano este concepto), para poder hacer trampa. Pienso que el número infinito es un artilugio que sirve en matemáticas para convertir cosas aproximadamente exactas en totalmente exactas (por ejemplo desarrollos en serie). Y no debería de servir para dar estos saltos de pretidigitador.
Y aunque sea pasarme a otro tema, en la Naturaleza existe por ejemplo el número dos, o el tres. Existen equis cosas, pero que yo sepa, no existen infinitas cosas de lo que tú quieras, ni de nada.
Claro, en la Naturaleza sólo hay números "naturales" :D
Pero el espacio y el tiempo sí son continuos, divisibles infinitamente. Amalio-Zenón, aquí te espero, explícame cómo la tortuga le roba el podio a Aquiles...
Menos filososofía barata, Amalio. Si te molesta hacer un límite al infinito, adiós matemáticas, adiós fractales, apaga y vámonos.
Y haré un límite infinito sólo cuando sea posible hacerlo, no cuando se le ponga a Lola.
Y si lo hago en este consabido caso, el limite será mi recta picuda fractal, y no la aburrida diagonal sin picos, como distancia más corta entre 2 puntos, corasón.
Si lo entiendo bien, la longitud y el tiempo de Planck son la distancia y el intervalo temporal más pequeños que pueden ser medidos con el modelo actual de física cuántica. (Que, por cierto, sólo es un modelo. Por ejemplo, no cuadra con el modelo actual de física relativista).
Hay dos maneras de entender esto:
1) A la Amalio: Toda distancia o todo intervalo temporal estén cuantizados y son un múltiplo natural exacto de las unidades anteriores.
2)A la lordWings: Podemos suponer que el espacio y el tiempo son continuos, pero nunca podremos medir con mejor precisión que los límites de Planck.
Acordemos que la escalera en el límite no existe en la naturaleza (continua o no), sino sólo como concepto abstracto.
Hagamos una encuesta/test:
La escalera, en el límite (no en ningún paso finito, sino en el paso al infinito puramente conceptual),
a) es la diagonal (y por tanto, derivable en todo punto, y su longitud es raíz de 2);
b) es un fractal "picudo en todo punto" (no derivable en ningún punto, como la función de Weierstrass), de longitud 2;
c) igual que b), pero el fractal resulta ser de dimensión D>1, y no tiene sentido preguntarse por su longitud / es indeterminada / depende de cómo se mida;
d) ninguna de las anteriores.
Hagan juego, señores...
Los más osados, que den argumentos sólidos a su favor.
(A ser posible, sin dudar de la existencia/validez conceptual del infinito, ni dudar de la existencia/validez de los límites de Planck, ni dudar de la existencia/validez de la boina del vecino...)
Yo soy (casi) ingeniero, y no creo que con ésto vaya a descubrir la pólvora, pero creo que hay un error de principio en la paradoja (obviamente ésto será refutado por cualquier tontería que me deje en el tintero).
La escalera no es simétrica respecto a la diagonal a la que tiene, sino que lo es respecto de la otra diagonal.
Sí sería simétrica una escalera que tuviera el primer y último peldaños (de apoyo del pie) de tamaño mitad al resto. En ese caso, la curva va dividiendo siempre el cuadrado en dos superficies de igual tamaño: 1/2.
En el caso de la escalera de Lola ¿es obligatorio qeu la convergencia sea en longitud? En área sí es claro qeu acaba convergiendo a dividir en dos el cuadrado.
Esa convergencia que nos parece evidente mirando el grafico, pero mientras no la definan bien no se puede decir mucho sobre las propiedades de los graficos.
Si tomamos dos escaleras (una de cada lado de la diagonal) tendremos una sucesión de graficos que miden 4 y que "mirando el grafico" podemos concluir que convergen a la diagonal: LOS DIBUJOS PUEDEN HACERNOS EQUIVOCAR EN LUGAR DE AYUDARNOS,
Yo creo que la razón la tiene Rufo. Que la sucesión de funciones escalonadas (y Lola, seguro que hay funciones derivables con el mismo comportamiento, por ejemplo sinusoides) converja puntualmente a una función que no es escalonada (la recta diagonal) no implica, de ninguna de las manera y lo mires como lo mires, que la *longitud* de cada una de las funciones de la sucesión tenga que converger a la longitud de la función a la que converge *puntualmente* la sucesión (la longitud de la recta diagonal). La paradoja es aparente (como en casi todos los casos), interesante pero a la vez, creo, resoluble sin necesidad de fractales, con solo análisis funcional clásico. Lo mejor de todo ha sido leer a Lola, tan granaína, usando la palabra "engañifa",eso viene a ser como usar lenguaje fractal hablando de análisis funcional... mola.
Eh, bueno, creo que la explicación no dejará satisfecho a muchos.A pesar de eso la explicación a los eventos es la siguiente:
a.- cuando se han hecho n divisiones (en la primera división aparecen dos triángulos, en la segunda aparecen cuatro triángulos, y asi sucesivamente), la longitud de cada lado es 1/(2^n).
b.- Cuando se han hecho n divisiones, el número de términos a sumar (lados de los triángulos nuevos) es 2^(n+1)
c.- La suma de todos los lados es entonces 2=[1/(2^n)]*[2^(n+1)]
d.- La diagonal (infinitamente pequena) de cada triángulo se puede calcular usando el teorema de pitagoras a traves de raiz[(1/2^n)^2+(1/2^n)^2] con lo cual se tiene que la longitud de cada diagonal de cada triángulo es (raiz2)/2^n.
f.- hay 2^n diagonales, ya que hay una diagonal por cada 2 lados.
g.- la suma de las 2^n diagonales es entonces raiz2.
h.- las suma de los lados NO converge a la suma de las diagonales. Mientras que la suma de las diagonales converge a la diagonal del triángulo.
Algunas paradojas aparecen en la matemática y se debe a que tenemos la idea de que la matemática debe ajustarse al mundo real y esta idea es ficticia. Conocen el caso del cuerno de gabriel (vean lo que aparece de esto en wikipedia)? la trompeta de gabriel tiene un volumen finito, pero un area infinita. Más aún, la región que la genera tiene area infinita.
Si tengo una sucesión de curvas {C_n] con extremos fijos. Si estas curvas convergen a la curva C, es decir si
lim_n {C_n} = C.
Ahora, si L(C_n) denota la longitud de la curva C_n y L(C) es la longitud de la curva C, entonces la pregunta aquí es:
Es verdad que:
¿ lim_n L(C_n) = L(lim_n C_n)?
Pues no, como este ejemplo bien demuestra, y la verdad es que no veo razón para que así sea, es decir para que pueda intercambiar la función de longitud con el límite.
Para poder intercambiar la longitud con el límite tengo que pedir más condiciones al tipo de convergencia y/o a las curvas....(ser rectificalbes, etc etc...)
Suponer que el limite conmuta con longitud, es mucho!! es suponer mucho!!..
Para calcular la distancia entre dos puntos, no puedo escoger cualquier curva que una estos dos puntos y luego calcular la longitud de la curva como una aproximación a la distancia buscada, aunque la curva se acerque "tanto como queramos" a la recta que une a estos puntos.
Siempre puedo construir una escalera que esté tan cerca como yo guste a la diagonal del triangulo, pero esto de ninguna manera implica que la longitud de la escalera me de una buena aproximación a la distancia entre los extremos de la escalera... no tiene por qué ser así...
El problema de confusión es que uno considera que el hecho de que las escaleras "tiendan" a la diagonal, implica que en "algun momento son "en si" la diagonal... Es el mismo problema
para amalio el que estudia "calculo infinitesimal" y dice entender matematicamente la definicion y propiedades de un fractal:
1.- si estudias calculo infinitesimal no tienes idea lo que es un fractal.
2.- si los escalones tienden a infinito, sus longitudes tienden a 0, por lo tanto no puedes decir que la suma la longitud de "cosas" que tienden a 0 es un numero distinto de 0, estas cosas que son 0 son puntos adimensionales que solo toman valor cuando estan en una recta o una curva, y donde la sum de estos puntos es la longitud de la recta, que se calcula con pitagoras.
3.- y si lo que tu dices es verdad, que nunca va a ser una recta y q siempre va a tener picos, entonces la definicion formal de derivadas e integrales estarian incorrectas, DEJATE DE ESCRIBIR PELOTUDECES AMALIO POR FAVOR!
Un día paseando caí en la cuenta de la siguiente paradoja. Imaginemos que tenemos un cuadrado 1x1 como los que siguen y queremos ir de A a B. Lo hacemos de las siguientes formas:
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