No quiero entrar en la definición de lo que es numerable y lo que es no numerable pero me gustaría dar una idea sencilla... A ver si logro explicar lo grandísimo que es ser no numerable.
Algo es numerable si se puede contar... aunque sea infinito. Es decir, le podemos asociar a cada cosa del conjunto que tengamos un número natural (1,2,3....) sin repetir el número. Por ejemplo, si tenemos 23 fresas, podemos asignar a una de ellas el 1, a otra el 2, a otra el 3... y así hasta el 23. Pero también vale para un conjunto infinito: Grabemos en vídeo un televisor y pongaos lo que grabamos en el mismo televisor. A la primera tele, que es la palpable, se le asigna el 1, a la siguiente imagen, el 2... y así sucesivamente. Otro ejemplo podrían ser los días, suponiendo que haya infinitos y que no se acabe el tiempo (cuestiones puramente filosóficas): hoy el 1, mañana el 3, pasado mañana el 5... y ayer el 2, anteayer el 4....
Pero... ¿puede pasar que no se le pueda asignar un número natural a los elementos de algún conjunto? ¿Tan asquerosamente retorcida es la razón humana? Pues sí, señores. Por ejemplo, si dibujamos puntitos en una mesa (se entiende puntitos como algo infinitamente pequeño que no ocupa espacio, no valen puntazos), está claro que por muchos que pongamos, como no tienen dimensión, nunca se cubriría la mesa. Eso quiere decir que no es numerable, ya que si lo fuera, sí se podría cubrir, aunque tuvieramos que estar infinito tiempo poniendo puntos y que hubiera infinitos puntos puestos con su número asignado, ya que todavía habría infinitos huecos en los que por muchos puntos que pusieramos volverían a quedar huecos. Es decir, no hay ninguna forma de ir colocando los puntos sin que nos queden huecos. Marditos roedores...
Total, que ser infinito no numerable es la leche de grande. Ni que decir tiene que cuando los matemáticos empezaron a pensar en estas cosas, se les fue un poco la cabeza, porque es algo un tanto irracional (nunca mejor dicho, jiji). Ahora, si veis algo infinito por la vida, pensad si es o no numerable. Por cierto, para mí uno de los teoremas más impresionantes de las matemáticas, y que se da en primero de carrera, es que Q, los múmeros racionales (sí, las fracciones, esos que son p/q)... a pesar de que entre cada dos numeros racionales cualesquiera hay infinitos racionales más (entre el 1/84 y el 2/3 hay infinitos pero es que aunque estén pegadísimos, también hay infinitos y así sin parar...), pues... ¡hay una forma de ponerlos en orden para que sea numerable! Vale, quizá no os impresione, a mí me pasó lo mismo cuando lo estudié, pero unos meses después, cuando lo entendí de verdad... no me lo podía creer... Por suerte, está demostrado :P
|2005-10-04 | 19:23 | algo de mates | Este post | | Tweet
jeje, yo también estuve un día flipado cuando entendí que los irracionales son numerables, y lo que más me sorprendió fue la forma en la que se numeraban...
pero vamos a ver....yo voy a comer al rodilla, y tengo mi lapiz, y cojo y me pongo a hacer puntitos infinitamente pequeños en el mantel del rodilla ( son infitamente pequeños porque he sacado mucha punta)entonces....a no ser que me cierren el rodilla....yo puedo conseguir rellenar el mantel de puntos...no???como no va a tener dimensión un punto?como puede ser el mantel infinitamente vacio?el vacio es infinito?ostras.......esto es increible
ticita...entonces...alguien sin medida es la nada...
Bueno a algunos ingenieros somos como Laura: aplicamos la teoría del punto gordo y así nos pasa que las sutilizas matemáticas nos las acabamos de entender. O por lo menos no a la primera :)
Cluje, pues sí, tenían que ser 23 fresas, ni más ni menos. Mmm...fresas...qué ricas...ya pronto vienen... :)
Herr Spock, como dice Becario efectivo, precisamente los irracionales (pal que no lo sepa, los irracionales son los que no se pueden poner como una fracción, por ejemplo, "raíz de 2" o el número pi) son no-numerables. Los numerables son los racionales. Lo sorprendente es que parece que haya "la misma cantidad" de unos que de otros. Pues...no.
Laura: un punto no tiene dimensión. Aunque te tengan abierto el Rodilla toda la vida, nunca rellenarías la mesa. Los puntos no tienen ni ancho ni largo. ¿Te acuerdas de que un día hablábamos de los habitantes de los mundos en 2 dimensiones, que no tenían alto? Pues son así, pero sin ninguna dimensión. Jiji... qué locura, la verdad... Lo que puede llegar a hacer la abstracción...
Claro... la línea recta sí tiene dimensión... sólo una. Pero es que una línea, como conjunto de puntos... ¡¡¡tampoco es numerable!! (es como lo de la mesa pero en una dimensión en lugar de dos). Es increíble que juntes una cantidad no-numerable de cosas sin dimensión y te salga una cosa con dimensión!
Yo tenía exactamente la misma pregunta que Laura (cómo nos coordinamos, eh?? ;) Lola, el próximo día me lo vas a tener que explicar, porque sigo sin entender por qué esos puntos no son numerables...
Besitos, matemática!
Al fin y al cabo... ¡todo es un conjunto de puntos! Pero lo jodido es que no son numerables así que... es difícil construir las cosas de esa forma... Me vuelvo a madrid!!
Precisamente has dado en el clavo Laura: dices que una línea está compuesta por una sucesión de puntos, y no es así. En la idea de sucesión de puntos está implícito que si tenemos uno, tenemos "el siguiente", mientras que en un conjunto no numerable no existe el siguiente. Entre cada dos, hay muchos. Es una manera de ponerle nombre a la continuidad.
El tiempo como tal no es que no sea numerable, ese concepto sólo tiene sentido aplicado a conjuntos. Lo que no es numerable es el número de instantes.
Cuando contamos el tiempo lo discretizamos, lo dividimos en pequeños intervalos de un segundo, un minuto, una hora etc. Pero cualquiera de esos intervalos contiene un ínfinito no numerable de instantes.
oye lola, si tu dibujas una linea en un papel, por qué solo tiene una dimensión? dios!!! esque es como si anulases parte de su identidad...por muy peuqeño que sea el ancho....tendrá ancho, no? jo que pesada me estoy poniendo, pero esque me cuesta verlo. NJo creo que a un punto, por muy infinito y no numerable que sea, le mole no tener dimensión. ( él piensa de qué me sirve ser la leche de grande si no tengo dimensión?)
Es impresionante!!!!!...Aún así, es como "domesticar" el infinito...hacerlo "delimitado"....
Por cierto....que alguien me demuestre la existencia del conjunto de lo numerable....
Lo que a mi me sorprendió más fue saber que el conjunto de los números algebraicos (los que son solución de alguna ecuación polinomial con coeficientes enteros, como raiz de 2, la unidad imaginaria i, el número áureo phi, etc) TAMBIÉN es numerable! O sea, que si tomamos un número real al azar (entiéndase bien lo que significa "al azar") entonces, seguro que es trascendente, como Pi, e, la constante de Euler... ahora que lo pienso, casi no me se números trascendentes, y eso que son mayoría abrumadora ;-)
Laura, es que una cosa es "dibujar" como tú dibujas y otra es una recta matemática, que es, "en abstracto", sin ancho. Las rectas que pintamos es la única forma que tenemos de hacernos una idea de cómo es una recta "de verdad" (matemáticamente hablando) pero una recta no tiene ancho como tal. Jiji... pobrecita, te veo en el concierto pensando en las lineas...
Lo que me impresionó a mí cuando lo leí fue que un pequeño subconjunto del conjunto de problemas (los que consisten en averiguar si una cierta cadena forma parte de un lenguaje*) es no numerable, mientras que el del conjunto de soluciones algorítmicas es numerable (ordenamos por longitud y los de la misma longitud, por orden alfabético).
*El asunto es que cualquier problema computable puede traducirse en un problema de ese tipo... aunque muchos de ellos tengan poco interés.
Por dios, Lola, cambia el post, porque me entra un estrés cada vez que entro... Me siento como si mi cerebro se hubiera vaciado, no entiendo nada, y mi autoestima empieza a resentirse... Socorro!!!!
Lola:
hace tres días espero el técnico que me revise el viejo Hermes, por lo cual escribo a los saltos (si no fuera por la rabia saco una foto, otra que maraña anti-wireless!) y aprovecho ahora para decirte que estos tres días me han venido bien para pensar lo que has posteado.
Explicas bien, chica, en su momento cuando me lo enseñaron lo dejé pasar como una cosa más pero esta vez me atrapaste con el enfoque y los demás ayudaron con sus comentarios.
Es que así se ha de enseñar, con conocimiento y seguridad, pero a la vez dejando entrever que también uno, al asomarse a esos abismos, tuvo dudas y temores...
Un abrazote infinito
Miguelito: creo que era Seurat. Tiene incluso una obra que viene como anillo al dedo, o punto al...eso ;-)
No quiero entrar en la definición de lo que es numerable y lo que es no numerable pero me gustaría dar una idea sencilla... A ver si logro explicar lo grandísimo que es ser no numerable.
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