Chicho, después de su fallido intento con el mundo de los libros en su "a leer esta vez", crea la n-ésima versión del clásico concurso: "Un, dos tres, a darle vueltas al tarro esta vez". Durante la subasta se le pide a la pareja concursante que escoja entre tres puertas. Detrás de una de ellas hay ¡un fastuoso un coche con el que llegar a un piso de lujo en el barrrio de Salamanca de Madrid! mientras que detrás de las otras dos sólo hay dos sendas espuertas de boñigas de vaca. Tras una larga decisión, la pareja elige una puerta -por ejemplo, la número 2- , y el presentador, que conoce excatamente lo que hay detrás de cada una de las puertas, abre otra, digamos la número 3, que esconde una espuerta de boñigas de vaca. Entonces les dice el presentador a la sufrida pareja: ¿Desea cambiar por la número 1?
La pregunta: ¿Sería ventajoso escoger la puerta número 1?
Seré muy desastre, pero este acertijo es de los que más me flipa; me cuesta horrores entenderlo; haciendo los calculitos pues sale lo que sale, pero soy incapaz de comprenderlo sin fórmulas, siempre que simplemente "lo pienso" doy con la respuesta mala :( Me explico?
Este dilema es cojonudo. Es de esas cosas tan contraintuitivas que ni después de ver la demostración racional te lo acabas de creer. Como la ilusión de la sombra sobre el tablero de damas.
Cosas que tiene la probabilidad condicionada... Yo había oido una versión pero con cuevas con gárgolas o pricesas (no me acuerdo si eran dos gárgolas y una princesa o dos princesas y una gárgola, a saber qué será peor :-P)
Algernon, sí que depende del azar, pero ese "azar" depende de las elecciones posibles, no?
A ver... ¿se supone que Chicho... barre para casa y no quiere que ganen? Jeje... si, probabilidad condicionada :) Ajco de probabilidad.
Que... iba a decir yo... ah, si... en palabras textuales de Brunhilda, "es un acertijo muy chorra". Ahora podría colocar aquí lo que me dice Nfer sobre "chorra". Lo haré, de hecho...
De "chorra": la RAE me dice (para mi asombro)
chorra.
1. f. coloq. Casualidad, suerte.
2. f. malson. pene.
3. f. Sal. Trozo de tierra que queda sin arar por haber un peñasco u otro obstáculo.
4. f. Sal. Este obstáculo.
5. m. Hombre tonto, estúpido. U. t. en pl. con el mismo significado que en sing.
Algernon: La pregunta es si, después de que Chicho muestre que en la 3 hay un mojón de vaca, conviene cambiarse a la puerta 1, quedarse en la puerta 2, o si da exactamente igual.
Bueno, sí, va de teoría de juegos, pero me parece entender que da igual que Chicho juegue para ganar o no...
"Chicho ha abierto la 3, que contiene caca de vaca; si nos ofrece la 1, igual quiere que la pillemos porque contiene caca; pero tal vez no la contenga, y nos la ofrece para que nos creamos que allí hay caca; por lo tanto..."
Lo último, Algernon. De hecho, Chicho no es un jugador, sino parte del juego. Está obligado a abrirte una puerta con boñiga de las dos que no has elegido.
Se trata del famoso problema de Marilyn y las cabras. Se puede decir ya la solución?.
La solución aceptada es que la estrategia de cambiar de puerta dobla las probabilidades del concursante de ganar el coche. Pero mira!, este es ese tipo de problemas que cuantas mas vueltas le das mas confundido te quedas. Cuando lo planteamos una vez en un foro (Max y Nfer seguro que se acuerdan) se armó tal zipizape que al final acabé sin estar seguro ni de mi nombre.
Hasta hice una simulación en el Excel a ver que estrategia acertaba mas veces. Veré si la tengo por ahí en algun disco viejo.
No entiendo por qué cambiar de puerta dobla la probabilidad de ganar el coche, como dice Xac Mazo en 22). Si la probabilidad de llevarse el coche es 1/3 (hay 3 puertas), doblarla sería la ostia de bueno ¿no?.
A mi entender, el presentador está obligado siempre a ofrecer otra puerta, sea lo que sea, para darle un poco de vidilla al prorama ¿no? Da igual si cambias: la probabilidad es 1/3 y como te haya mirado un tuerto, te llevas abono para tres años para el cactus antirradiación del monitor ;-)
Xac, es ese y yo mutis por el foro que ya bastante armamos en otra época..
Grande BrunhildaPhoenix! esperamos tu resurrección convertida en......(continuará)
Peatón: La probabilidad es de 1/3 si te quedas con la misma puerta que elegiste. Si cambias de puerta, sube a 2/3. Aquí explican la cosa con detalle y te permiten jugar al juego para comprobarlo.
Lo que hace que el problema sea tan poco intuitivo es lo que yo mencionaba en 27: que Chicho SI sabe donde está el premio.
Como Chicho no elige al azar cambia las reglas del juego, es como Dios ;)
Si Chicho no supiera donde está el premio, El Peatón tendría razón, habría tres resultados igualmente probables: que el jugador gane cambiando de puerta (1/3) que el jugador no gane cambiando de puerta (1/3) y que Chicho gane (1/3).
Pero como Chicho siempre elige una puerta donde no hay premio, desaparece la posibilidad de que gane y entonces hay dos resultados del juego con probabilidades distintas: que el jugador gane sin cambiar de puerta (1/3) y que el jugador gane cambiando de puerta (2/3).
A mí me gusta más la explicación de la siguiente página porque hacen unos quesitos con los distintos sucesos posibles que lo explican muy gráficamente y porque dejan claro cual es la solución:
Ahora, que si después de cambiar y aumentar tu probabilidad, te llevas la boñiga, la cara de tonto que se te pone tiene que ser enorme, con probabilidad 1 XDDD
Lola, ¡pero si me tiré más de media hora dándote detalles de cómo se jugaba al ROL! Prepararé un día una aventurilla para que juegues y así sepas cómo va la cosa... ¿Qué tal en Navidad, con tu hermano y tus primos? ;P
Fiajte si se nos queda cara de bobos con los problemas de probabilidades que hasta con los mas sencillos la liamos.
Sea el matrimonio Pérez, que tiene dos hijos de 12 y 10 años respectivamente. Si sabemos que uno de ellos es una niña, ¿Que probabilidades hay de que el otro hijo sea también niña?.
El 95% de la gente a quien preguntes te contestará que 1/2. Bueno, pues esa NO es la solución.
La manera más fácil de entender lo que dice Xac es con los quesitos como los que ponen en la dirección de mi comentario 10.
Como yo no sé poner gráficos en un comentario, lo voy a intentar explicar con palabras. Un matrimonio tiene dos niños. Hay cuatro casos igualmente probables:
niño-niña
niño-niño
niña-niño
niña-niña
como la probabilidad tiene que sumar uno, la probabilidad de cada caso es 1/4.
También se puede explicar matemáticamente. El suceso que consiste en tener un niño o una niña tiene probabilidad 1/2 tanto en el caso del primer hijo como en el caso del segundo hijo. Además ambos sucesos son indepenedientes: es decir que el que el primer hijo sea una niña no implica mayor probabilidad ni menor probabilidad de que el segundo hijo sea una niña. En consecuencia, el suceso consistente en tener una niña y luego otra niña está formado por la ocurrencia simúltanea de dos sucesos independientes de probabilidad 1/2, este suceso "compuesta" tiene una probabilidad que es la multiplicación de las probabilidades de cada suceso:
1/2 * 1/2 = 1/4.
Chewie, no me des las gracias :) solo explicame si hay alguna manera de meter un gráfico, por ejemplo de excel o una imagen en formato jpg, en un comentario sin subirlo antes a una web. Si se puede y me lo explicas eso si que te lo agradecería un montón :)
Anónima: Pero el problema que plantea Xac es distinto.
No pregunta la probabilidad de que, sin conocer nada a priori, ambos hijos sean niña. Lo que pregunta es la probablididad de que, sabiendo que uno de ellos es niña, el otro también lo sea. Como bien has dicho, esa probabilidad es de 1/2.
Chewie 38:
Releido el problema de Xac, la verdad es que la redacción se presta a confusión ( a propósito, sino no sería un acertijo) como en el acertijo de Monty-Hall, por otra parte.
¡Pero yo no he dicho eso!
Yo he dicho, siendo S suceso, y P probabilidad:
S1 = concebir una hija, P1 = 1/2
S2 = concebir una hija, P2 = 1/2
S3 = concebir una hija, sabiendo que ya se tiene una hija
= concebir una segunda hija
= tener dos hijas
P3 =1/4
Es decir que para que al alcanzar un gran número de tiradas el rojo y el negro de la ruleta estén igualmente representados, la probabilidad de que salga un rojo despues de una racha de negros es mayor que la probabilidad de que salga un rojo después de una racha de rojos, aunque en cada tirada la probabilidad de que salga rojo sea 1/2.
Anónima: Hay un paso erróneo en la cadena de igualdades que has hecho para S3. El suceso S3 es concebir una hija, se sepa o no que ya se tiene una. No puedes igualarlo luego a "tener dos hijas", como si la primera no se hubiera tenido ya.
Pero da igual. Aunque lo consideres así, P1 no es 1/2, sino 1. El suceso S1 ya es conocido y es de probabilidad 1.
"Lo que pregunta es la probabilididad de que, SABIENDO QUE UNO [DE LOS DOS NIÑOS DE LA FAMILIA] ES NIÑA, el otro también lo sea. "
Si se sabe que ya se tiene una niña, la probabilidad es 1/4 de tener una segunda. Esta es la probabilidad de un suceso S3 consistente en que se produzcan sucesivamente dos sucesos independientes: el tener una hija (S1), el tener una hija (S2).
Chewie 41:
"El suceso S3 es concebir una hija, se sepa o no que ya se tiene una."
Esta definición del suceso es ambigüa.
Si el suceso es concebir una hija, Y NO SE SABE que ya se tiene una, el suceso es S1 (o S2) y la probabilidad es 1/2.
Si SE SABE QUE YA SE TIENE UNA NIÑA, estamos en el caso del comentario 38.
Los sucesos aislados tiene una probabilidad dada, el encadenamiento de sucesos aislados tiene otra probabilidad, que depende de si son independientes o no. Si son independientes, la probabilidad del suceso encadenado es el producto de las probabilidades de los sucesos aislados. Resulta poco intuitivo, pero es así.
La probabilidad de que ocurra un suceso no varía por el hecho de que el suceso ya se haya producido. Sigue siendo cierto que el matrimonio Pérez, hubiera podido tener un niño. Un suceso de probabilidad 1 es aquel que se produce si o si. No un suceso que ya se ha producido, pero que hubiera podido no producirse.
Por cierto siguiendo el mismo razonamiento que en tu comentario 41, de "olvidar el pasado" o sea de no considera que el problema planteado consiste en calcular la probabilidad de un suceso encadenado, en el acertijo de Monty-Hall no trae cuenta cambiar de puerta. Una vez superada la intervención de Chicho, tienes a un concursante ante dos puertas: una con premio y otra sin premio. La probabilidad de que el premio esté en una u otra puerta sería 1/2 y daría igual cambiar de puerta que no cambiar de puerta.
PD: En ingeniería insisten mucho en lo del cálculo de probabilidades, porque es muy importante para el diseño de por ejemplo sistemas de producción en los que se pueden producir averías con una cierta probabilidad y hay que diseñar actuaciones en consecuencia, mantenimiento preventivo, mantenimiento correctivo, etc...
En la vida real, no es buena idea fiarse del cálculo de probabilidades, por ejemplo para "diseñar" una familia, ya que incluso los sucesos más improbables (que no imposibles) se pueden producir alguna vez. Todos conocemos casos de equipos de fútbol todos hermanos porque los padres iban buscando la niña. Yo sin ir más lejos tengo 3 niñas de las cuales dos mellizas. No quiero ni pensar en lo baja que es la probabilidad de tener una descendencia así, pero c'est la vie ;)
Anónima: Nos tendrían que dar el Nobel de sacarle punta a un problema sencillo :-)
Sigamos. Me parece que en lo que no nos ponemos de acuerdo es en la interpretación de ciertas palabras, no en nada fundamental sobre la teoría de probabilidades. Voy a ver si consigo no ser ambiguo.
[Anónima] Chewie 41:
"El suceso S3 es concebir una hija, se sepa o no que ya se tiene una."
Esta definición del suceso es ambigüa.
Si el suceso es concebir una hija, Y NO SE SABE que ya se tiene una, el suceso es S1 (o S2) y la probabilidad es 1/2.
Si SE SABE QUE YA SE TIENE UNA NIÑA, estamos en el caso del comentario 38.
[Chewie] Un suceso, me parece a mí, hay que definirlo con independencia de su probabilidad, o de la probabilidad de otros sucesos. S1 es "concebir una hija", y S2 es "concebir una hija". Son perfectamente equivalentes.
En teoría de probabilidades, aparte de los sucesos en crudo, se define la probabilidad de que ocurran. Estas ya sí que pueden ser interdependientes.
En nuestro caso, P(S1) = P(S2) = 1/2. Pero ojo, S1 y S2 son perfectamente intercambiables. No definimos uno con respecto al otro.
[Anónima]Los sucesos aislados tiene una probabilidad dada, el encadenamiento de sucesos aislados tiene otra probabilidad, que depende de si son independientes o no. Si son independientes, la probabilidad del suceso encadenado es el producto de las probabilidades de los sucesos aislados.
[Chewie] Correcto. La probabilidad de que un matrimonio cualquiera tenga 2 hijas es
P(S1 y S2) = (1/2)*(1/2) = 1/4
Pero no es nuestro problema. En nuestro problema, nosotros ya sabemos si el suceso S1 ha ocurrido o no (sí ha ocurrido). En teoría de probabilidades claro que influye nuestro conocimiento sobre la ocurrencia o no de los sucesos, y el conocimiento de que uno de los hijos es niña cambia la probabilidad de S1 a 1. Al igual que en el problema de Monty Hall, Chicho inyecta información abriéndonos una puerta con boñiga, y ese conocimiento cambia las probabilidades.
El caso extremo sería el problema siguiente: "El matrimonio Pérez tiene dos hijas. ¿Cuál es la probabilidad de que el matrimonio Pérez tenga 2 hijas?". Pues 1 XD No obvio mi conocimiento.
En nuestro problema, sabemos que el matrimonio Pérez tiene una hija. Sabemos que tiene otro hijo de sexo indeterminado. Se nos pregunta cuál es la probabilidad de que ese hij@ sea hija. Y la respuesta es 1/2, porque la probabilidad condicionada de S2, dado S1, es igual a la probabilidad de S2 si ambos sucesos son independientes (como bien cuentan aquí).
En resumen. No es lo mismo la probabilidad condicionada de un suceso dado otro que la probabilidad de que se den los dos sucesos. [ P(S1 y S2) P(S2|S1) ]
Los problemas de probabilidad es que flipan!!!!
La condición indispensable para estos problemas es que el enunciado se refiera a situaciones normales pero a cambio debe ser muy estricto. Tal vez el enunciado pueda redactarse mejor pero el caso es que... nadie ha acertado. La pregunta es: "sabiendo que uno de los dos es niña, ¿Cáles son las probabilidades de que el otro también sea niña"?. Ya habeis hecho bien el esquema, las diferentes probabilidades son:
niño-niño
niño-niña
niña-niño
niña-niña
Y la probabilidad de cada caso es 1/4. Ahora bien, puesto que sabemos que AL MENOS UNO ES NIÑA, la opción niño-niño ya queda descartada y la probabilidad es... 1/3!!!.
Lo siento , el mensaje salió cortado, lo que quería decir es que si aplicamos el razonamiento de Chewie al problema de Monty Hall entonces también es 1/2 la probabilidad.
Lola, no encuentro tu dirección para enviarte los problemas. Aquí va otro, mas sencillo:
Un hipocondríaco acude al hospital a hacerse un análisis porque sospecha que padece una enfermedad dolorosa y mortal. Mientras le están extrayendo una muestra de sangre para verificarlo, le pregunta al médico:
Oiga doctor, la pitopausa purulenta, ya sabe, el Síndrome de Pitufo es una enfermedad muy frecuente?
Pst, así así contesta el doctor- según las estadísticas, la padecen sólo uno de cada 10.000 varones.
Mas tranquilizado el hombre se va y a la semana siguiente vuelve al hospital para recoger los resultados.
-Buenos días, doctor... ¿ya tenemos el resultado?
-Buenos dias, sí; tenemos el resultado. Y lamento decirle que ha salido positivo.
-... Que?... Entonces tengo la pitopausa?... Aaaay, si ya lo sabia yo!!!
-Tranquilícese. No es seguro todavía, tendremos que repetir el análisis porque este test tiene cierto margen de error. A veces da falsos positivos.
-Menos mal. ¿Y cual es el margen de error?.
-Bueno, para qué voy a engañarle: el test es fiable al 99% , 99 de cada 100 resultados son correctos pero por cada 100 análisis nos hemos encontrado con que sale un positivo falso, o sea que podría usted haber dado positivo y no estar enfermo.
-Aaaaaay!... ¿Porqué me da falsas esperanzas?. Tengo un 99% de probabilidades de estar enfermo!....Que desgracia la mía!!!
1) ¿Qué probabilidades de verdad tiene el pobre hombre de estar enfermo?.
Gracias, Xac.
Ahorita mismo me vuelvo a tercero de carrera. Y con lo que a mi me gustaba la estadística, Sniiif, Buaaaaa :'(
Cuando vuelva de repetir 3ª, dentro de un año o así, volveré por aquí y me atreveré con el Xac-acertijo :)
Una forma de dirimir problemas de probabilidades es hacer un heurístico a lo bruto por ordenador. Le tengo que dar la razón a Xac, porque sale como él dice: 1/3 :-)
Con 1 millón de matrimonios con 2 hijos, de los que al menos uno de ellos es hija, tenemos que:
Salen dos niñas 249390 veces.
Salen niño y niña (o niña y niño) 500217 veces.
Al hacer el programita creo que me he dado cuenta de la trampa sutilísima de este problema. No es lo mismo decir "sabemos que una de ellas es hija", que decir "llamemos A y B a las hijas, entonces sabemos que A es hija". Yo estaba convencido de que ambas condiciones eran idénticas (siempre se puede llamar A a la que sabemos que es hija), pero parece ser que no.
Aún tengo que darle al coco para digerirlo. Gñññññññññ.
La pitoquee??
Xac, no se te puede quitar el ojo de encima!
A ver, podría alguien decirme porqué asocio una enfermedad inexistente (espero!) con un conocido científico que hace poco ha fallecido?.
Pues sinceramente, yo esto del Monty Hall sigo sin verlo.
Chicho abre una boñiga. Vale. Quedan 2 puertas, una con boñiga otra con premio. Ya habías elegido una, con p=1/3 de premio. ¿Cuál es la p de que la misma puerta tenga premio ahora? Pues 1/2. No entiendo por qué cambiar va a aumentar la probabilidad de ganar a 2/3, de verdad que no, y no es la primera vez que lo discuto, como ya han comentado los amigos.
Esto se diferencia de lo del sexo de los hijos en que el orden aquí sí que es importante. Si nos dicen que el primer descendiente es chica, entonces la p del segundo es 1/2, si nos dicen que uno es chica, la p del otro es 1/3... pues con las puertas igual. No es lo mismo decir que "sabiendo que en una hay una cabra" que decir "en TAL puerta hay una cabra". En fin, que ya me discutiréis los matemáticos, seguro...
Eso, los matemáticos, que yo estoy desenpolvando los libros de 3ª y los apuntes del doctorado (sin contar que todavía tengo que superar el trauma) :DDD
Biomaxi: Traduzco de aquí, que lo explican muy claro:
Hay 1/3 de probabilidades de que aciertes la puerta con premio, y 2/3 de que no aciertes la puerta. Si no cambias de puerta, tu probabilidad de ganar el premio es de 1/3. Sin embargo, si no acertaste la puerta (y esto tiene una probabilidad de 2/3), entonces el premio está en alguna de las otras dos puertas. Además, de estas dos, Chicho abrirá la puerta con boñiga, dejando la puerta con premio cerrada. Por tanto, si no acertas y luego cambias, obtienes el premio seguro. En resumen, si no cambias tu probabilidad de ganar es de 1/3, mientras que si cambias tu probabilidad de ganar es de 2/3.
Vale Chewie. Ignoraba que fueras tú. Y tengo que reconocer que de ahí mismo, de tu blog saqué el problema. Como verás lo he retocado con la pésima intención de plantear una segunda pregunta:
¿Cuantos análisis harán falta para tener una seguridad del 99% de que el hipocondríaco no está enfermo?. Vale usar la lógica de brocha gorda y numeros gordos, no es necesario recurrir al Teorema de Bayes para dar las probabilidades con cienco cifras decimales, gracias.
Conste que este es un problema práctico, es decir que realmente es necesario tener en cuenta estos detalles a la hora de valorar resultados de analisis y de vacunas. Por cierto, para los que aun no lo han intentado el hipocondríaco tiene un poquito menos del 1% de probabilidades de estar enfermo.
La pregunta: ¿Sería ventajoso escoger la puerta número 1?
Respuesta: no. Las dos puertas tienen la misma probabilidad de tener el premio desde el principio (1/3) y lo que sepamos o dejemos de saber de ellas no cambia ese hecho.
La mejor manera de entenderlo es suponiendo que hay 100 puertas en vez de 3 y que en una está el coche. la pareja escoge una puerta cualquiera... como son 100 puertas es muuuuuuy probable que en esa no esté el coche (1/99). El animador (QUE SABE DONDE ESTÁ EL AUTO) abre 98 puertas que no tienen el auto y deja cerrada una. Luego pregunta si quieren cambiar la que eligieron por la otra.
Obviamente conviene cambiarla porque la probabilidad de que la tenga la pareja es 1/99 contra la probabilidad de que la puerta esté en el resto (99/100)....
O Brunhilda-acertijo.
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