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acertijo: la futura mesa

Tenemos un tablero con forma de círculo y hacemos, al azar, cuatro agujeros en él. Si ponemos una pata en cada agujero, ¿cuál es la probabilidad de que obtengamos una mesa estable?

|2009-04-13 | 10:34 | acertijos | 12 opinan | Este post | |

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Comentarios

1
De: vengoroso Fecha: 2009-04-15 13:34

Creo que no entiendo el problema. A que te refieres con "ser estable"? A que el centro (de gravedad) del tablero quede dentro (de la envolvente convexa) del poligono delimitado por los cuatro puntos, o a otra cosa?

PS: Teclado guiri



2
De: David Fecha: 2009-04-15 15:07

¡8/9!

Y los signos de admiración son del énfasis, nada de factorial de nada.



3
De: Lola Fecha: 2009-04-15 17:34

vengoroso, sí, claro, a que la pongas en el suelo y no se caiga.



4
De: Vicent Fecha: 2009-04-16 11:15

Como dirían mis alumnos, este es "de pensar".



5
De: piwi Fecha: 2009-04-26 20:41

Creo que hay muy pocas probabilidades de que se mantenga estable, practicamente ninguna.

Si la respuesta es un número no me lo sé :(



6
De: lordWings Fecha: 2009-05-10 13:44

Si no me equivoco:
- con 3 patas al azar, P=1/4,
- con 4 patas al azar, P=1/2,
aunque en algunos casos el equilibrio es bastante precario...
Para el segundo caso he tenido que efectuar algunas integrales simples; ¿hay alguna manera lógica o geométrica para evitarlo?



7
De: lordWings Fecha: 2009-05-16 15:33

Para que haya estabilidad las patas deben formar al menos un triángulo "rodeando al centro".
Podemos observar que desplazar una pata radialmente (¡no diametralmente!) no altera el resultado.
De aquí observamos que la distancia al centro de cada pata no influye para nada en este problema, y sólo observaremos los ángulos relativos que forman respecto al centro.



8
De: lordWings Fecha: 2009-05-16 15:36

Para 3 patas:
Lo importante es el ángulo relativo, no dónde empezamos a medir ni en qué sentido.
Por tanto, sin perder generalidad podemos decir que los tres ángulos respecto al centro son (0º, A, B) con A



9
De: lordWings Fecha: 2009-05-16 15:43

Me imagino que antes el HTML se ha bloqueado con los signos "menor que" y "mayor que".

Para 3 patas:
Lo importante es el ángulo relativo, no dónde empezamos a medir ni en qué sentido.
Por tanto, sin perder generalidad podemos decir que los tres ángulos respecto al centro son (0º, A, B) con A en el intervalo (0º,180º).
Dibujando el círculo, una vez fijados 0º y A, los tres puntos forman un triángulo que rodea al centro sólo si B en (180º,180º+A) entre los equiprobables valores de B en (0º,360º), lo cual sucede con una probabilidad P(A)=A/360º.
Haciendo una media de P(A)(matemáticamente, integrando) entre los equiprobables valores de A en (0º,180º), obtenemos la probabilidad media.
En este caso, la probabilidad aumenta linealmente desde P(0º)=0 a P(180º)=1/2, con lo que la probabilidad media es de P=1/4.



10
De: lordWings Fecha: 2009-05-16 16:17

Para 4 patas:

Análogamente, tomamos los cuatro ángulos (0º, A, B, C) con A en el intervalo (0º,180º).

Fijados A y B, miraremos qué condiciones debe cumplir C para que se forme un triángulo que rodee al centro:
1) Cuando B está en (0º,A), sólo si C está en (180º,180º+A), con probabilidad P1(A,B)=A/360º.
2) Cuando B está en (A, 180º), sólo si C está en (180º,180º+B), con probabilidad P2(A,B)=B/360º.
3) Cuando B está en (180º, 180º+A) ya teníamos un triángulo y vale cualquier C en (0º,360º), con probabilidad P3(A,B)=1.
- Cuando B está en (180º+A,360º), sólo si 4) está en (B-180º,180º+A), con probabilidad P4(A,B)=(360º+A-B)/360º.

Las medias respecto a B son fáciles en cada intervalo porque son constantes o lineales:
1) B en (0º,A), P1(A)=A/360º.
2) B en (A, 180º), P2(A)=(A+180º)/2/360º.
3) B en (180º, 180º+A), P3(A)=1.
4) B en (180º+A,360º), P4(A)=(180º+A)/2/360º.

Si ahora usamos el "teorema de la probabilidad total",
P(A)=P(1)*P1(A)+P(2)*P2(A)+P(3)*P3(A)+P(4)*P4(A),
todo se simplifica a
P(A)=1/4+A/360º,
que crece linealmente de P(0º)=1/4 a P(180º)=3/4, con una media total de P=1/2.



11
De: lordWings Fecha: 2009-05-16 16:50

En la siguiente página
http://www.albaiges.com/matematicas/probabilidades/trianguloaleatroio.htm
citan el resultado de que la probilidad de que con n patas distribuidas al azar la mesa NO se sostenga es de n/2^(n-1). ¿De dónde lo sacarán?



12
De: Lola Fecha: 2009-05-16 17:23

Pues no sé, pero 1/2 creo que es la respuesta correcta que dan en el sitio en el que encontré el problema.



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