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tres pasatiempos

-¿Cuántos martes y 13 como máximo puede haber en un año?

-Los lados de un triángulo son 6, 7 y x. ¿Cuál es el el mayor valor que puede tomar el área de dicho triángulo?

-Calcula 12-22+32-42+...+20052-20062.

Sacado de los ejercicios del concurso de primavera de matemáticas para Bachillerato. Ea, para entretenerse un ratín (tampoco dan para mucho).

|2008-09-29 | 16:05 | algo de mates | 17 opinan | Este post | |

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Comentarios

1
De: Verence Fecha: 2008-09-29 16:46

¡Uf! Qué pereza me da resolverlos "por fuerza bruta".

Intento resolver el del triángulo. Intuitivamente, imaginándomelo espacialmente, diría que el área es máxima cuando es un triángulo rectángulo.

Suponiendo que X fuera la hipotenusa, valdría 9,22 (por cierto: ¿en qué unidades?). Y el área sería 6·7/2 = 21

Suponiendo que 7 fuera la hipotenusa, X valdría 3,60 y el área sería 3,60·6/2 = 10,8

Ahora bien, no estoy seguro de que la suposición de área máxima = triángulo rectángulo sea correcta.



2
De: Verence Fecha: 2008-09-29 16:52

El de la serie numérica creo que también lo he resuelto, a lo bestia. Básicamente me he hecho un programa que lo resuelve, o eso pienso. :-P

Y me pregunto cómo alguien podría resolverlo en un tiempo razonable de otro modo...

-2013021



3
De: Verence Fecha: 2008-09-29 16:54

Por cierto (yo sigo hablando solo), que esa solución numérica se parece bastante a la operación 2006^2/2... Por ahí tiene que haber una formulita super chula...



4
De: Verence Fecha: 2008-09-29 16:58

Ya tengo la fórmula:

-(2006^2 + 2006)/2 = -2013021

Ahora, que la explicación la busque otro. :-P



5
De: Lola Fecha: 2008-09-29 17:06

Verence, piensa que esto se supone que lo puede resolver un chaval de 1º de bachillerato, con 16 años... (la mayoría no lo resuelven, eso sí). Siempre hay ideas felices.



6
De: Verence Fecha: 2008-09-29 17:21

Hombre; el de la serie, no me cabe duda de que nadie o prácticamente nadie lo resolvió; y, quien lo hizo, seguramente tiene capacidades especiales (superdotación) para las matemáticas.

Me recuerda a un problema muy clásico, que es más sencillo que éste: sumar todos los números entre el 1 y el 1000.

Ese problema se lo puso (cuenta la leyenda) un maestro a una clase especialmente rebelde, para tenerlos entretenidos un rato (no había calculadoras por aquel entonces, creo). Un famoso matemático, de cuyo nombre no me acuerdo, pensó lo siguiente:

La suma de 1 + 1000 es la misma que la suma de 2 + 999. Y es la misma que 3 + 998. Y es la misma que 4 + 997...

...Y así, hasta 500 veces. Resultado: 500*(1000+1) = 500500.

No recuerdo quién fue el matemático que tuvo esa idea feliz siendo tan solo un mocoso, pero obviamente ese tipo de razonamiento no está al alcance ni de un niño normal, ni de un adulto normal a no ser que tenga mucha experiencia en problemas similares.

Por cierto, estoy pensando en cómo resolver por "idea feliz" el problema de los martes y 13, a ver si se me ocurre algo.



7
De: Lola Fecha: 2008-09-29 17:30

Fue Gauss :P



8
De: Verence Fecha: 2008-09-29 17:37

Nada menos que Gauss, jejejeje. Qué tío.

Pues eso, tuvo que llegar Gauss para resolverlo. Y el que tú has puesto es mucho más difícil, o a mí me lo parece: números cuadráticos y signo negativo en los términos impares. Qué pereza, por Dios. :-D



9
De: Lola Fecha: 2008-09-29 17:45

Sí, pero Gauss lo hizo estando en primaria... :)



10
De: Verence Fecha: 2008-09-29 17:49

Gauss era un genio absoluto, eso está claro. Hay otros muchos (la biografía de Galois, por ejemplo, es muy interesante), pero las aportaciones de Gauss fueron impresionantes. Sobre todo en lo que yo he estudiado (Teleco) aparece por todas partes. :-)

Por cierto, ¿conoces el blog de Historias de la Ciencia?



11
De: Lola Fecha: 2008-09-29 18:40

Sí, está genial...



12
De: Dory Fecha: 2008-09-30 11:11

Esto..... umhhh
En fin, genial esto de los numeritos :) ajajaja



13
De: rufo Fecha: 2008-09-30 19:59

-dos si no es bisiesto
-área máxima con altura máxima: ángulo recto
-impares al cuadrado menos pares al cuadrado, sumando los 1003 primeros



14
De: lordWings Fecha: 2008-09-30 22:22

a^2-b^2=(a+b)(a-b)
2006^2-2005^2=2006+2005
2004^2-2003^2=2004+2003
...
2^2-1^2=2+1
Lo sumamos todo, con el truco de Gauss
y da 2007*2006/2.
Basta cambiarle el signo.

Gráficamente:
010101...01
110101...01
000101...01
111101...01
000001...01
111111...01
...........
...........
...........
000000...01
11111111111



15
De: Verence Fecha: 2008-10-01 09:46

Muy ilustrativo, lordWings.

Rufo, una pregunta: ¿cómo has calculado que el número máximo de martes y 13 en un año puede ser de 2? ¿Por fuerza bruta?



16
De: david Fecha: 2008-10-01 17:31

Como no sé la política del blooo con respecto a las soluciones, las doy, luego pongo avisos de SPOILER, ji ji, y las pongo ahí, para que quien no quiera que le arruine la gracia se las pueda saltar.

1. Rufo, el 2007 no fue bisiesto y tuvo un martes 13 en febrero, otro en marzo y otro en noviembre :P

El máximo de martes y 13 es tres, sea el año bisiesto o no.

2. El área máxima es 21.

3. Verence tiene toda la razón del mundo, es -2013021. Y recojo el guante y yo lo explico, vale.




*** SPOILER SOLUCIONES ***

1. Lo que he hecho ha sido mirar qué relación hay entre los martes de un mes y los del siguiente; es una cuestión de ir sumando 31, 30 y 28 (o 29) y calcular módulo 7, y luego buscar qué "resto", digamos, es el que más abunda y cuántas veces sale. Así he visto que en un año bisiesto los meses que más repiten días (e.d., el 1 cae el mismo día de la semana en ellos, y por tanto el 13 también) son enero, abril y julio. Por lo tanto si el 13 de enero es martes 13, también hay martes 13 en abril y julio, y sólo puede suceder 3 veces si cae en estos 3. En un año bisiesto, parecido, solo que los meses que más "se repiten" son febrero, marzo y noviembre.

Como curiosidad y de donde vino el contraejemplo a Rufo (mientras miraba yo si había metido la pata en las cuentas), el 2004 es un año bisiesto con martes 13 en los 3 meses que toca, y el 2007 también.

2. Se puede hacer por lo vago o "a la alemana", que diría un antiguo profesor mío". Por lo vago, el área de un triángulo sabemos que es (base * altura) / 2. Como la base puede ser cualquier lado, cogemos uno de los dos lados que nos dan, y entonces la altura, como mucho, será el otro, cuando el triángulo sea rectángulo, así que el área máxima será (6 * 7) / 2 = 21.

A la alemana, el área de un triángulo del que sabemos dos lados a y b es
A = (1/2)*a*b*sen($), si me dejáis llamarle $ al ángulo que forman a y b. Si el área es máxima, su derivada es 0, así que derivando,
0 = A' = ((1/2)*a*b*sen($))'

así que (sen($))' = 0 => cos($) = 0 => $ = pi/2, y el triángulo es rectángulo, luego su área será a*b/2 = 6*7/2 = 21.

3. Se ve intuitivamente pintando cuadraditos en una hojita cuadriculada y viendo qué significa su resta. Si los vamos pintando de forma que los cuadrados grandes engloben a los pequeños y los vamos colocando alternativamente en una esquina y otra de lo que nos queda, cada suma o resta es una especie de "área" de un "triángulo" de cuadraditos, y la fórmula para calcular su área se saca por inducción. Como 2006 > 2005, la cuenta nos va a salir negativa y rellenando el dibujín se ve enseguida que será -2006*2007/2. Intentando representarlo de alguna manera...

un cuadrado de lado 1 sería esto.
0

esto sería un cuadrado de lado 1, menos uno de lado 2; daría -3.
@0
@@

esto, sumarle 3*3 a lo anterior, daría 6
000
@00
@@0

esto, restarle 4*4 a lo anterior, daría -10
@000
@@00
@@@0
@@@@

y esto, sumarle 5*5 a lo anterior, 15
00000
@0000
@@000
@@@00
@@@@0

...y se ve que va saliendo la formulita que nos tiene que dar, que será -1 por la suma de los números que van del 1 al 2006, que es precisamente esa del vago Gauss adolescente al que no le dio la gana pasarse horas sumando.

*** FIN DEL SPOILER ***

Gracias por salvarme de una tarde soporífera en el curro, por cierto. Es un consuelo saber que, si estuviese en el bachillerato, sería un geniecillo, ji ji.



17
De: rufo Fecha: 2008-10-01 20:11

efectivamente son, como máximo, tres martes y trece al año, sea o no bisiesto (dos es el máximo que pueden darse seguidos, salvo en año bisiesto)



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