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demos fugaces (ii)

Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada uno es el anterior más un número prefijado que llamaremos "distancia". Por ejemplo, si la distancia es 3 y empezamos por el 5, la sucesión será

5,8,11,14,17,20,23...

Claramente, si a un término le restamos el anterior, siempre sale el mismo número, la distancia. Hay infinidad de progresiones aritméticas a nuestro alrededor. Sin ir más lejos, la sucesión 1,2,3,4,5,6,7,8.... es una progresión aritmética de distancia 1 que empieza en el 1.

Pues bien, si fijamos un n como nos dé la gana, ¿cuánto suman los n primeros términos de una progresión aritmética?. Tal suma es el primer término más el último, todo entre 2 y multiplicado por n (n=número de términos que estamos sumando). Por ejemplo, si queremos sumar los 100 primeros números naturales (1+2+3+...+99+100), en lugar de hacerlo a mano, será ((1+100)/2)*100, es decir, 5050. Así de rápido.

¿Cuál es la prueba fugaz de que esto funciona? ¡Es una argucia muy sencilla pero efectiva!

nota: con el mismo método se calcula el producto de los n primeros términos de una progresión geométrica.

|2006-05-26 | 10:52 | acertijos | 33 opinan | Este post | |

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Comentarios

1
De: belga_seg Fecha: 2006-05-26 11:02

Yo sólo sé que tus pupilos te van a adorar...



2
De: Zifra Fecha: 2006-05-26 13:15

Gauss y Von Neumann... cuando la ética lo permita, cuento la anécdota



3
De: Lola Fecha: 2006-05-26 13:24

jajaa, Zifra, intrigada me tienes... mucho...

por cierto, pista para la demostración: es...como un palíndormo... :D



4
De: Chewie Fecha: 2006-05-26 14:46

¿La anécdota es esa de Gauss en el cole?
¿Y la de Von Neumann la de los trenes?



5
De: palo Fecha: 2006-05-26 16:17

En camino estoy. Me da vergüenza decir esto, pero me está costando...



6
De: Mafalda Fecha: 2006-05-26 16:34

No tengo ni idea...



7
De: Lola Fecha: 2006-05-26 16:52

Así me gusta... sinceridad... :D



8
De: Domingo Fecha: 2006-05-27 00:53

Otra pista para Zifra, cambiar el dos de sitio ayuda ;-).

Un saludo, Domingo.



9
De: Victorino Fecha: 2006-05-27 02:09

Lolita, me pides que te haga acordar dónde está mi planteo de las series numéricas. Aprovecho que vuelves a la carga con el tema para recordártelo:
Blog del 12 04 2006 acertijo ¿cuál falta?, comentarios 38, 39, 40, 41 y 42



10
De: Rubn Fecha: 2006-05-27 08:39

Ni zorra...



11
De: Jorge Zaragoza Fecha: 2006-05-27 14:14

Si mal no recuerdo (aunque puedo estar equivocado), el método lo hizo Gauss (como también apunta un post) cuando estaba en el colegio y el profesor hizo la misma pregunta que ahora formulas.

La cuestión se resuelve tomando desde el último número de la serie hacia atrás para verlo "gráficamente", se observa que el último (100) + el primero (1) es 101, el penúltimo (99) más el segundo (2) es también 101 y así sucesivamente.

1 + 2 + 3 + .... + 98 + 99 + 100

1+100=101
2+99=101
3+98=101
...
50+51=101

Luego, si n1 es el primer término de la sucesión y nn el último, siendo T el número total de términos en la sucesión, entonces la suma de la serie será:

(n1+nn)T/2

Está genial el post, me he acordado de las clases de Estadística en la facultad, hay que esperar varios días para resolver? cuál es el modus seguido?



12
De: Lola Fecha: 2006-05-27 18:02

Jorge, se suele esperar un día para que la gente piense un poco. Y sí, la clave está en pensar que si la sucesión es a1, a2, a3, a4... an, se tiene que a1+an=a2+a(n-1)=a3+a(n-2), por ser progresión aritmética. Así, si escribimos la expresión que da la suma de las dos formas siguientes:

a1+a2+a3+a4+....+an
an+a(n-1)+....+a3+a2+a1

Si sumamos las dos miembro a miembro, tendremos el doble de lo que buscamos. Despejando nos da la formulita que pongo en el post :D



13
De: Anónimo Fecha: 2006-05-27 19:33

Vale, si se ha abierto la veda, he encontrado un truco "cuasi más directo".
(Las operaciones principales son dividir entre 2 y elevar al cuadrado)

Ejemplo 1:
Sumar de 1 a 100=A

B)Elevar al cuadrado A=100..... 100 00

C)Dividir B) entre 2 ............50 00
D)Dividir A=100 entre 2.............50

Solución: Sumar C) y D) .........50 50


Ejemplo 2:

Sumar de 1 a 8

B= 64
C= 32
D= 16

Suma=B+C= 48

Ejemplo 3:

Sumar de 1 a 15

B=225
C=112.5
D= 7.5

S= 120
¿Funciona siempre? ¿Por qué?
:-)



14
De: Anónimo Fecha: 2006-05-27 19:37

Uyyy, errata gorda: en el ejemplo 2 es D=4 y S=C+D =36, claro.




15
De: Anónimo Fecha: 2006-05-27 19:50

El truco es bueno, creo, sobre todo, cuando acaba en cero el último número de la serie:
Ejemplo 4:

Sumar de 1 a 800

B= 640 000
C= 320 000
D= 400

S= C+D = 320.400



16
De: Anónimo Fecha: 2006-05-28 17:20

lola que pasa que no escribes? donde te metes? ya no quieres saber nada del blog

!!



17
De: Domingo Fecha: 2006-05-28 19:40

Hola a todos,

Para Anónimo:

el truco es sólo "cuasi" más directo. En realidad es el mismo. Si te fijas tu fórmula dice que la suma es C+D = n^2/2 + n/2

Si te fijas, la fórmula que escribió Lola en el enunciado es (n+1)*n/2 = (n^2+n)/2 = tu fórmula.

Lamento haber roto la magia ;-), sin embargo reconozco que el intento ha sido bueno :-).

Un saludo, Domingo.



18
De: Lola Fecha: 2006-05-28 20:06

Anónimo, aquí ando! Es que estoy en fin de semana, oposito y ese tipo de cosas :P Pero sí, claro que vale lo que dices, pero también es verdad que el motivo es justo el que dice domingo, es sólo otra forma de escribir la formulilla...

Pues nada, lo dicho... ¡salud(os)! :P



19
De: Zifra Fecha: 2006-05-29 12:40

Gauss en el cole le obligaron a sumar todos los números de 1 a 100 en el pizarrín. acabó en un momento y el maestro le preguntó: ¿Cómo lo has hecho?

Pues los he agrupado por parejas, el primero con el ultimo, que todos suman lo mismo, etc y he multiplicado por las cincuenta parejas.

cuando Von Neumann estaba en el colegio, su maestro estaba contando esta anécdota:

- ... y el maestro de Gauss les mandó sumar los números de 1 a 100

Y saltó V.N.: ¡5050!

- Muy bien - dijo el maestro. - ¿A que los has agrupado por parejas, el primero...

- ¡No! -le interrumpió V.N.- ¡Los he sumado!



20
De: Lola Fecha: 2006-05-29 13:51

Jajajajaja... el de Gauss sí lo conocía... el de Von Neumann, si fue así, me parece una barbaridad... a no ser que en realidad la última frase fuera:

- ¡No! -le interrumpió V.N.- ¡Los he sumado!... ¡no te jode!

soy una negada para hacer cuentas :P



21
De: Chewie Fecha: 2006-05-29 14:43

La de von Neumann que yo conocía es algo distinta (y más chula en mi opinión :-):

De CienciaNet.
Al matemático húngaro-americano John von Neumann(1903-1957) le propusieron una vez el siguiente problema:

Dos trenes separados por una distancia de 200 km se mueven el uno hacia el otro a una velocidad de 50 km/h. Una mosca partiendo del frente de uno de ellos vuela hacia el otro a una velocidad de 75 km/h. La mosca al llegar al segundo tren regresa al primero y así continúa su recorrido de uno a otro hasta que ambos trenes chocan. ¿Cuál es la distancia total recorrida por la mosca?

[La manera fácil de hacerlo es tener en cuenta que los trenes se encuentran después de recorrer 100 km. El tiempo transcurrido será de 2 h (100 km)/(50 km/h). Por tanto la mosca habra recorrido (75 km/h)*2 h = 150 km]

Neuman respondió inmediatamente :"150 km"
"Es muy extraño", dijo el que se lo había propuesto, "todo el mundo trata de sumar la serie infinita".
"No entiendo por que lo dice" le contesto Neumann. "¡Así es como lo he hecho"



22
De: Anónimo del 13 al 15 Fecha: 2006-05-29 18:32

(Ese Anónimo del 16 que metía bulla no era yo :-)

Sí, claro, la fórmula era la misma (no podía ser de otro modo). El truco es bueno para hacer la suma a veces mucho más rápida mentalmente sin ser V.N. ;-)

Saludos a todos.



23
De: lordWings Fecha: 2006-05-31 17:08

Yo a veces lo he visto como demostración gráfica. Como no lo encuentro, os lo dibujo como puedo.

Con cuadraditos se forma una pieza en forma de escalera sólida de altura T:
###
#####
#######
#########
###########
¿Cuántos cuadraditos tiene?
Ejemplo: 3+5+7+9+11
En general: a1+a2+...+an

Otra manera de contar es coger otra pieza igual y ponerla a continuación para formar un rectángulo:
###00000000000
#####000000000
#######0000000
#########00000
###########000
¿Cuántos cuadraditos tiene?
Ejemplo: 5x14: La altura es 5 y la anchura es 3+11 (hay 3 #'s y 11 0's)
En general: T(a1+an).

Así pues, como las piezas son iguales,
2 escaleras = 1 rectángulo
2(a1+a2+..+an)=T(a1+an)

El razonamiento es el mismo que en la demostración de Lola, pero, con dos recortes de cartulina de colores diferentes, a un niño no se le olvida en la vida.



24
De: Anónimo del 13 al 15 Fecha: 2006-06-01 00:50

Muy curiosos e ilustrativos esos dos triángulos escalonados.
Supongo que para el caso particular que nos ocupa, tomaremos a1=1, an=T=n.

Y hablando de traducciones geométricas, no hay que olvidar tampoco que una forma muy sintética de escribir la solución es:

( n +1 )
( 2 )

un número combinatorio que puede ilustrarse mediante el triángulo de Tartaglia ! :-)




25
De: Pep Fecha: 2006-07-23 13:22

Mi método para pasar mentalmente de metros/segundo a Km/hora:
Se multiplican los m/s por 4 y al resultado se le resta su 10%, lo que da es la velocidad en Km/h. No falla, pero: ¿Alguien es capaz de decir que sentido tienen estas operaciones?



26
De: Javier Fecha: 2006-11-14 12:25

El cambio de m/s a km/h es multiplicando por 3'6. Por tanto es lo mismo que multiplicar por 4 y restarle el 10 % (4-4·0'1=3'6)



27
De: leydi Fecha: 2007-03-28 17:31

no entiendo nada de esto



28
De: xxxx Fecha: 2007-09-06 04:11

nose como se hace



29
De: carlos restrepo Fecha: 2007-09-20 00:41

cuanto suman la 1+2+3...+358??? Según la fórmula???



30
De: Lola Fecha: 2007-09-20 11:31

Pues lo dicho, (359*358)/2, es decir, 64261



31
De: erika Fecha: 2008-04-11 00:03

no c q acer los primeros ejercicios q me me dejaron entendi mv bien pero este no entiendo :
EN UNA P.A SE SABE QUE :
a41=203 , a1=3
hallar "S 50"

porfa te agradseria q me lo resuelbas y me mandes para comparar la respvesta aver si lo que ise esta bien



32
De: marilyn Fecha: 2008-09-22 18:49

muchas gracias por aver encontrado mi area de mate



33
De: mejia Fecha: 2009-02-12 02:45

muchas gracias me hicieron una tarea jaja.



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