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Ponga un grupo fundamental en su vida

Nota previa; yo no sé de dónde estoy sacando las fuerzas para escribir esto. He estado 6 horas andando, buscando piso de un lado a otro, me ha dado plantón un propietario, después de estar esperardo 2 horas, me ha caído encima el mayor de los chaparrones, son las tantas, hoy dormiré 4 horas� pero aquí estoy hablando de mates, rescribiendo el post perdido hace días. Esto es ser una �pofesioná�.

Yo creo que los topólogos tenemos una deformación profesional especial: a todo le calculamos el grupo fundamental. Recuerdo aquel épico día en Niza, rodeados de tiendas de lencería cutrísima (porque en Niza sólo hay jubilados y tiendas de lencería cutrísima) y diciendo �ese tanga tiene un grupo fundamental muy chungo, ¿verdad?�. Pues sí, lo tenía. Fue la discusión de aquel congreso, porque no nos poníamos de acuerdo.

Y no, el grupo fundamental no son los Beatles, los Rollings o Los Pecos, pero yo ya le veo hasta cierta musicalidad. Explicar lo que es el grupo fundamental no es fácil sin usar lenguaje técnico, sobre todo si el lector no tiene aún dominado lo de pasar del donut a la taza de café, pero lo intentaré. Antes de nada: ¿para qué hacemos estas cosas? Pues bien, el grupo fundamental de un espacio (espacio quiere decir objeto, cosa que nos podamos imaginar, de la dimensión que sea, pero esto no lo comentéis por ahí, que no es muy riguroso) � decía que el grupo fundamental de un espacio es un invariante topológico, que, al fin y al cabo, es lo que todo topólogo busca en la vida (matemática). Un invariante topológico es una forma de pasar del objeto (cosa geométrica, con cierta forma) al álgebra (pura y maravillosa abstracción) y usar ese álgebra para estudiar el objeto. Se llama invariante porque si tenemos dos objetos iguales en el sentido topológico (véase de nuevo lo del donut y la taza de café), es decir, que se diferencien en una breve deformación en la que no se pega ni se rompe ni se hacen agujeros, entonces el invariante será el mismo para los dos objetos. Por ejemplo, el donut y la taza de café tienen el mismo grupo fundamental (y cualquier invariante topológico del mundo).

¿Esto qué nos dice? Simplemente indica que si dos objetos son iguales, su invariante es el mismo y, por tanto, si dos objetos tienen un invariante distinto, ellos han de ser distintos. Por tanto, nos permite distinguir objetos. He aquí el quid de la cuestión: ¿es verdad lo contrario? Pues NO. Podemos tener objetos con el mismo grupo fundamental y que sean distintos, la afirmación sólo va en un sentido. La gracia está en que hay invariantes más fuertes que otros, es decir, que distinguen más objetos, pero, por lo general, son mucho más difíciles de calcular.

Los invariantes más conocidos son los grupos de homología ( y cohomología) y los de homotopía. Los grupos de homotopía de un espacio son muy difíciles de calcular en general. De hecho, uno de los problemas más importantes (si no el más importante) de la topología es calcular los grupos de homotopía de las esferas. El grupo fundamental es uno de los grupos de homotopía, el primero. Es sorprendente lo fácil que es de definir e incluso de calcular ese primer paso y cómo se complican los siguientes. Nos quedamos con él.

Para empezar, su grafía matemática es \pi_1 (X), si X es el espacio al que le estamos calculando el grupo fundamental. \pi_1 es la forma de escribir a LaTeX �pi-minúscula-sub-uno�. Es un grupo, es decir, dados dos elementos de \pi_1(X), tenemos una forma de sumarlos. Pero ¿cómo son estos elementos?. ¡¡Muy fácil!! Primero hemos de saber qué es una curva cerrada: es una curva que empieza y acaba en el mismo sitio y que no se corta a sí misma, es decir, el símbolo �8� no vale, que se corta, pero sí vale el �0� o una pequeña deformación, por ejemplo, una curva con forma de haba o con forma de circuito de Indianápolis. Podemos deformar el �0� todo lo que queramos siempre y cuando no lo rompamos ni formemos un �8� apretando, todas esas curvas para un topólogo (y para vosotros a partir de ahora) son iguales que un �0�.

Pues bien, \pi_1(X), el grupo fundamental de X, no es más que el número de curvas cerradas que tiene el espacio. Fácil, ¿no?. Por ejemplo, tomemos un tubo del rollo de papel higiénico. ¿Cuántas curva cerradas (¡¡sin cortes!!) podemos formar? Sólo hay de dos tipos: la que le da la vuelta al rollo y la que podemos dibujar haciendo una circunferencia normal, como si el tubo fuera un plano. No podemos deformar una en la otra y todas las demás curvas posibles son deformaciones de estas dos. Las curvas que son como la última, circunferencias que se puede rellenar por dentro, se pueden deformar a un punto y esas no cuentan (son el neutro del grupo, para los más puestos), por lo que sólo nos queda de un tipo, las que le dan una vuelta al tubo (que no se puede deformar a un punto). Pues ya tenemos el grupo fundamental del rollo: Z, todos los números enteros. Esto de que sea Z y no el número 1 (porque hay una curva) se debe a que podemos sumar esta curva todas las veces que queramos (dar un montón de vueltas, repitiendo la curva una y otra vez) y obtenemos todos los números naturales. También podemos girar en el sentido contrario y obtenemos así los números negativos. Por eso se pone Z (sería �1xZ�), pero lo importante es que hay una curva que nos da el resto.

Dejo como ejercicio para el lector pensar en objetos que tengan el mismo o distinto grupo fundamental que el tubo del rollo de papel higiénico. Pistas: un antifaz, un flotador, una pelota� (¡¡estos tres ejemplos tienen todos grupos fundamentales distintos entre sí!!). Destaco la esfera, es decir, la pelota. ¿Cuántas curvas cerradas tiene una pelota?. ¡¡¡Ninguna!!! Todas se pueden deformar a un punto. ¡Tachán! ¡¡\pi_1(S^2)=0 !! De hecho, en general \pi_1(S^n)=0 si n es mayor que 1, por lo que el grupo fundamental no nos da muchas pistas. Recordemos que dos cosas pueden tener el mismo grupo fundamental y no ser iguales.

Bueno, ya va siendo hora de cerrar los ojillos. Os dejo que penséis en el grupo fundamental de las cosas que vais viendo a vuestro alrededor. ¡Ojo! Es importante saber si están rellenas o no. No es lo mismo un donut, rellenito de masa de donut, que un flotador, que está hueco por dentro. De hecho� ¡¡un donut no es más que el tubo de un rollo de papel higiénico!! Vale, sí, a dormir�

Ah, un último jueguecito: si nos quedamos con la grafía, hay un número especial y una letra (mayúscula) especial que tienen el mismo grupo fundamental y que a la vez es distinto al resto de los números y las letras. ¿Cuáles?

|2004-10-13 | 01:00 | algo de mates | 6 opinan | Este post | |

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Comentarios

1
De: alumnas de topologia Fecha: 2006-03-31 19:15

¿cual es el grupo fundamental de {(x+1,sen(1/x)) tq x pertenece a (0,infinito)}



2
De: Lola Fecha: 2006-04-01 02:01

bueno, tampoco tengo la curva en la cabeza, pero parece que es un seno sin más... entonces su grupo fundamental es cero... ¿no?

p.s. Jo, se borraron todos los comentarios que había aquí...



3
De: borja Fecha: 2006-05-24 21:12

cual es el grupo fundamental de la lemniscata de bernoulli??



4
De: jaja Fecha: 2006-06-02 01:39

borja , tu tienes grupos con abellanas no?



5
De: alumnos de topologia Fecha: 2007-06-29 16:25

¿ Cuál es el grupo fundamental de R^n menos S^1 ?



6
De: Alberto Fecha: 2009-04-01 03:45

Un artículo realmente genial Lola!
¿Son el cero 0 y la o esas letras?
Un saludo
Matemático ULL (La Laguna, Tenerife)



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